Ces exercices appliquent la fiche : ils n'introduisent aucune règle nouvelle. Cherchez d'abord seul, puis comparez avec le corrigé. La vérification par développement est indiquée lorsqu'elle aide à contrôler un résultat.
Exercice 1 — Développer avec la distributivité simple
Développer et réduire les expressions suivantes :
A = 3(x + 5) ; B = −4(2x − 1) ; C = x(x + 3).
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Démarche : chaque facteur placé devant la parenthèse multiplie chacun des termes de la parenthèse.
A : 3 × x + 3 × 5 = 3x + 15.
B : −4 × 2x + (−4) × (−1) = −8x + 4.
C : x × x + x × 3 = x² + 3x.
Conclusion : A = 3x + 15 ; B = −8x + 4 ; C = x² + 3x.
Exercice 2 — Factoriser un facteur commun
Factoriser les expressions suivantes :
D = 6x + 9 ; E = 4x − 12 ; F = 5x² − 10x.
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Démarche : repérer le plus grand nombre qui divise tous les coefficients, puis la lettre commune à tous les termes (méthode du hub : facteur commun le plus grand possible).
D : 3 divise 6 et 9, donc D = 3(2x + 3). Vérification : 3 × 2x + 3 × 3 = 6x + 9.
E : 4 divise 4 et 12, donc E = 4(x − 3). Vérification : 4x − 12.
F : 5x divise 5x² et 10x, donc F = 5x(x − 2). Vérification : 5x × x − 5x × 2 = 5x² − 10x.
Conclusion : D = 3(2x + 3) ; E = 4(x − 3) ; F = 5x(x − 2).
Exercice 3 — Double distributivité
Développer et réduire : G = (x + 2)(x + 5) et H = (2x − 1)(x + 3).
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Démarche : chaque terme de la première parenthèse multiplie chaque terme de la seconde, puis on réduit.
G : x × x + x × 5 + 2 × x + 2 × 5 = x² + 5x + 2x + 10 = x² + 7x + 10.
H : 2x × x + 2x × 3 + (−1) × x + (−1) × 3 = 2x² + 6x − x − 3 = 2x² + 5x − 3.
Conclusion : G = x² + 7x + 10 ; H = 2x² + 5x − 3.
Exercice 4 — Facteur apparent
Factoriser K = (x + 1)(x + 2) + 3(x + 1).
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Démarche : repérer le facteur présent dans les deux termes : x + 1.
Calcul : K = (x + 1)(x + 2) + 3(x + 1) = (x + 1)[(x + 2) + 3] = (x + 1)(x + 5).
Vérification par développement : (x + 1)(x + 5) = x² + 6x + 5, et (x + 1)(x + 2) + 3(x + 1) = x² + 3x + 2 + 3x + 3 = x² + 6x + 5. Les deux expressions concordent.
Conclusion : K = (x + 1)(x + 5).
Exercice 5 — Simplifier un rapport
Pour x non nul, simplifier L = (6 × x × 5) / (3 × x).
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Démarche : repérer les facteurs communs au numérateur et au dénominateur, et les supprimer. Le facteur x est non nul, on peut donc le supprimer.
Calcul : L = (6 × 5 × x) / (3 × x) = (6 × 5)/3 × (x / x) = 30/3 × 1 = 10.
Conclusion : pour x non nul, L = 10.