Ces exercices appliquent la fiche : ils n'introduisent aucune règle nouvelle. Cherchez d'abord seul, puis comparez avec le corrigé. Chaque corrigé donne la démarche, la justification, le calcul, puis la conclusion.
Exercice 1 — Produire une formule
Une salle a la forme d'un rectangle de longueur L et de largeur ℓ, exprimées en mètres.
- Écrire en fonction de L et ℓ le périmètre P de la salle, puis son aire A.
- Calculer P et A pour L = 8 et ℓ = 5. Rédiger la réponse avec les unités.
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Démarche : le périmètre additionne les quatre côtés, soit deux fois la longueur et deux fois la largeur ; l'aire est le produit de la longueur par la largeur.
Justification : P = L + ℓ + L + ℓ = 2 × (L + ℓ), et A = L × ℓ, qu'on écrit Lℓ (méthode du hub).
Calcul : P = 2 × (8 + 5) = 2 × 13 = 26 ; A = 8 × 5 = 40.
Conclusion : le périmètre de la salle est de 26 m et son aire de 40 m².
Exercice 2 — Substitution et contre-exemple
- Pour x = −3 et y = 4, calculer A = 5x − 2y et B = x − 3y + 1.
- Un élève affirme : « pour tout nombre x, 2(x + 3) = 2x + 3 ». Montrer que son affirmation est fausse.
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Démarche : on remplace chaque lettre par sa valeur, entre parenthèses, puis on suit l'ordre des calculs. Pour la question 2, un seul nombre suffit à démentir l'affirmation.
Calcul de A : A = 5 × (−3) − 2 × 4 = −15 − 8 = −23.
Calcul de B : B = (−3) − 3 × 4 + 1 = −3 − 12 + 1 = −14.
Contre-exemple : pour x = 0, le membre de gauche vaut 2 × (0 + 3) = 6 et le membre de droite vaut 2 × 0 + 3 = 3. Les deux membres ne sont pas égaux : l'affirmation est fausse. (Pour x = 1, on obtient 8 et 5 : un second contre-exemple.)
Conclusion : A = −23, B = −14 ; l'égalité 2(x + 3) = 2x + 3 n'est pas vraie pour tout x.
Exercice 3 — Réduire et donner la nature d'une expression
Soit E = 3a + 4 − a + 2,5, F = −(3 − 2b) + 5b et G = 4(b − 1).
- Réduire E et F.
- Donner la nature de F et celle de G (somme ou produit), en justifiant.
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Démarche : pour réduire, on regroupe les termes en a (ou en b) entre eux et les nombres entre eux. Pour F, le signe − devant la parenthèse change le signe de chaque terme. La nature se donne par la dernière opération effectuée.
Réduction de E : 3a − a = 2a et 4 + 2,5 = 6,5, donc E = 2a + 6,5.
Réduction de F : −(3 − 2b) = −3 + 2b, donc F = −3 + 2b + 5b = −3 + 7b.
Nature : F = −3 + 7b se termine par une addition : c'est une somme. G = 4(b − 1) se termine par une multiplication de 4 par (b − 1) : c'est un produit.
Conclusion : E = 2a + 6,5 ; F = 7b − 3 (somme) ; G est un produit.
Exercice 4 — Démontrer une propriété générale
Démontrer que la somme de trois nombres entiers consécutifs est un multiple de 3.
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Démarche : désigner le premier entier par n ; les suivants sont n + 1 et n + 2. Écrire leur somme, la factoriser et conclure.
Justification : la somme vaut n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + 3. Par distributivité, 3n + 3 = 3 × (n + 1).
Conclusion : la somme est égale à 3 fois le nombre entier n + 1 ; c'est donc un multiple de 3, quel que soit l'entier n. Vérifier sur un exemple ne suffit pas : c'est le calcul littéral qui établit la propriété pour tous les entiers.
Exercice 5 — Suite de motifs
Un motif est formé de quelques allumettes. L'étape 1 comporte 5 allumettes, l'étape 2 en comporte 9, l'étape 3 en comporte 13, et chaque étape ajoute 4 allumettes aux précédentes.
- Exprimer en fonction de n le nombre d'allumettes à l'étape n.
- Combien y a-t-il d'allumettes à l'étape 12 ?
- À quelle étape atteint-on 101 allumettes ?
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Démarche : repérer la régularité (+ 4 par étape), puis écrire la formule.
Formule : à l'étape 1, 5 = 4 × 1 + 1 ; à l'étape 2, 9 = 4 × 2 + 1 ; à l'étape 3, 13 = 4 × 3 + 1. Le nombre d'allumettes à l'étape n est donc 4n + 1 (méthode du hub : formule déduite de la régularité constatée sur les trois premières étapes, puis vérifiée au calcul ci-dessous).
Question 2 : 4 × 12 + 1 = 49. Vérification : 5 + 4 × 11 = 5 + 44 = 49.
Question 3 : on résout 4n + 1 = 101, soit 4n = 100 et n = 25. Vérification : 4 × 25 + 1 = 101.
Conclusion : il y a 4n + 1 allumettes à l'étape n ; l'étape 12 en compte 49, et 101 allumettes sont atteintes à l'étape 25.