Ces exercices appliquent la fiche : ils n'introduisent aucune règle nouvelle. Les situations sont écrites pour l'occasion. Cherchez d'abord seul, puis comparez avec le corrigé.
Exercice 1 — Une fonction linéaire
Une fonction linéaire f vérifie f(3) = 12.
- Déterminer le coefficient de f, puis écrire f(x).
- Calculer l'image de 7.
- Déterminer l'antécédent de 10.
- La représentation graphique de f passe-t-elle par l'origine du repère ? Justifier.
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Une fonction linéaire s'écrit f(x) = a × x. Comme f(3) = 12, on a a × 3 = 12, donc a = 12 ÷ 3 = 4. Ainsi f(x) = 4 × x.
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f(7) = 4 × 7 = 28. L'image de 7 est 28.
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On résout 4 × x = 10, donc x = 10 ÷ 4 = 2,5. L'antécédent de 10 est 2,5. Contrôle : 4 × 2,5 = 10.
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Oui : f(0) = 4 × 0 = 0, donc le point (0 ; 0) appartient à la représentation graphique. La représentation d'une fonction linéaire est une droite qui passe par l'origine.
Barème indicatif : 2 points + 1 point + 1 point + 1 point, soit 5 points.
Exercice 2 — Un tarif avec forfait
Une agence de location de voitures facture un forfait de 25 € auquel s'ajoutent 0,40 € par kilomètre parcouru. On note x le nombre de kilomètres et g(x) le prix en euros.
- Écrire la formule de g(x). La fonction g est-elle linéaire ?
- Calculer g(100).
- Un client a payé 90 €. Combien de kilomètres a-t-il parcourus ?
- Le prix est-il proportionnel au nombre de kilomètres ? Justifier.
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g(x) = 0,4 × x + 25. C'est de la forme a × x + b avec a = 0,4 et b = 25 : la fonction est affine. Elle n'est pas linéaire, car b n'est pas nul.
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g(100) = 0,4 × 100 + 25 = 40 + 25 = 65. Pour 100 km, le prix est de 65 €.
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On résout 0,4 × x + 25 = 90, donc 0,4 × x = 65 et x = 65 ÷ 0,4 = 162,5. Le client a parcouru 162,5 km. Contrôle : 0,4 × 162,5 = 65 et 65 + 25 = 90.
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Non. Pour 0 km, le prix est g(0) = 25 € et non 0 €. Une situation de proportionnalité donne 0 pour 0. On peut aussi comparer g(100) = 65 et g(200) = 105 : doubler la distance ne double pas le prix.
Barème indicatif : 2 points + 1 point + 2 points + 1 point, soit 6 points.
Exercice 3 — Déterminer la formule d'une fonction affine
La droite représentant une fonction affine f passe par les points A(2 ; 7) et B(6 ; 19).
- Calculer le coefficient a de f.
- En déduire b, puis écrire f(x).
- Contrôler le résultat avec le point B.
- Déterminer l'image de −1 et l'antécédent de 13.
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a = (19 − 7) ÷ (6 − 2) = 12 ÷ 4 = 3.
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f(x) = 3 × x + b. Le point A(2 ; 7) appartient à la droite : 3 × 2 + b = 7, donc 6 + b = 7 et b = 1. Ainsi f(x) = 3 × x + 1.
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Pour B : f(6) = 3 × 6 + 1 = 19, ce qui correspond à l'ordonnée de B. Le résultat est cohérent.
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f(−1) = 3 × (−1) + 1 = −3 + 1 = −2. L'image de −1 est −2. Pour l'antécédent de 13, on résout 3 × x + 1 = 13, donc 3 × x = 12 et x = 4. Contrôle : 3 × 4 + 1 = 13.
Barème indicatif : 1 point + 2 points + 1 point + 2 points, soit 6 points.
Exercice 4 — Comparer deux tarifs
Une salle de sport propose deux formules pour x séances.
- Formule 1 : 6 € la séance. On note p1(x) le prix total en euros.
- Formule 2 : une carte à 32 €, puis 2 € la séance. On note p2(x) le prix total en euros.
- Écrire p1(x) et p2(x). Préciser la nature de chaque fonction.
- Compléter le tableau.
| x | 0 | 4 | 8 | 10 |
|---|---|---|---|---|
| p1(x) | ||||
| p2(x) |
- Pour quel nombre de séances les deux formules coûtent-elles le même prix ?
- À partir de combien de séances la formule 2 est-elle la plus avantageuse ?
- Avec un budget de 70 €, combien de séances au maximum peut-on faire avec chaque formule ?
- Que représente, dans un repère, le point de rencontre des deux droites ?
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p1(x) = 6 × x : fonction linéaire. p2(x) = 2 × x + 32 : fonction affine (non linéaire, car 32 n'est pas nul).
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Tableau :
| x | 0 | 4 | 8 | 10 |
|---|---|---|---|---|
| p1(x) | 0 | 24 | 48 | 60 |
| p2(x) | 32 | 40 | 48 | 52 |
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On résout 6 × x = 2 × x + 32, donc 4 × x = 32 et x = 8. Pour 8 séances, les deux formules coûtent 48 €.
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Pour 10 séances, p1 = 60 et p2 = 52 : la formule 2 est moins chère. Pour 9 séances, p1 = 54 et p2 = 50. L'écart p1(x) − p2(x) = 4 × x − 32 est positif dès que x > 8. La formule 2 est la plus avantageuse à partir de 9 séances (à 8 séances, les deux formules sont à égalité).
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Formule 1 : 6 × x ≤ 70 donne x ≤ 11,67 environ, donc 11 séances (66 €). Formule 2 : 2 × x + 32 ≤ 70 donne 2 × x ≤ 38, soit x ≤ 19 : 19 séances (70 €).
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Le point de rencontre a pour coordonnées (8 ; 48) : il représente le nombre de séances pour lequel les deux prix sont égaux et ce prix commun.
Barème indicatif : 2 points + 2 points + 2 points + 2 points + 2 points + 1 point, soit 11 points.
Exercice 5 — La fonction carré
La fonction s associe à tout nombre x le nombre x × x. C'est aussi l'aire d'un carré de côté x, en mètres carrés pour un côté en mètres.
- Calculer s(−4), s(−1), s(0), s(2) et s(3).
- Déterminer les antécédents de 25 et de −1.
- La fonction s est-elle linéaire ? Justifier avec deux valeurs.
- Quel est le côté d'un carré d'aire 30,25 m² ?
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s(−4) = (−4) × (−4) = 16 ; s(−1) = 1 ; s(0) = 0 ; s(2) = 4 ; s(3) = 9.
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Pour 25 : x × x = 25 donne x = 5 ou x = −5, car 5 × 5 = 25 et (−5) × (−5) = 25. Les antécédents de 25 sont 5 et −5. Pour −1 : x × x = −1 est impossible, car un produit x × x n'est jamais négatif. Le nombre −1 n'a aucun antécédent.
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Non. Si s était linéaire, on aurait s(2) = 2 × s(1) : or s(1) = 1 et s(2) = 4, qui n'est pas 2 × 1. Doubler x multiplie s(x) par 4 et non par 2.
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Il faut x × x = 30,25 avec x positif (un côté est une longueur). Comme 5,5 × 5,5 = 30,25, le côté vaut 5,5 m. Contrôle : 5,5 × 5,5 = 30,25.
Barème indicatif : 2 points + 2 points + 1 point + 1 point, soit 6 points.