Ces exercices appliquent la règle de la fiche : ils n'introduisent aucune règle nouvelle. Les énoncés sont écrits pour l'occasion. Cherchez d'abord seul, puis comparez avec le corrigé. Chaque corrigé indique la méthode utilisée et conclut lorsque la question est un problème.
Exercice 1 — Multiples et diviseurs
- Donner tous les diviseurs de 36.
- Le nombre 4 est-il un diviseur de 84 ? Le nombre 84 est-il un multiple de 7 ? Justifier.
- Le nombre 5 est-il un diviseur de 36 ? Justifier avec une division euclidienne.
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Démarche. On cherche les diviseurs par paires, puis on vérifie avec des multiplications ou des divisions euclidiennes.
- Les diviseurs de 36 sont 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 et 36. On obtient les paires 1 × 36, 2 × 18, 3 × 12, 4 × 9 et 6 × 6.
- 84 = 4 × 21 : 4 est un diviseur de 84. 84 = 7 × 12 : 84 est un multiple de 7.
- 36 = 5 × 7 + 1 avec un reste de 1 différent de 0 : 5 n'est pas un diviseur de 36.
Conclusion : 4 divise 84, 84 est un multiple de 7, et 5 ne divise pas 36.
Exercice 2 — Critères de divisibilité
Sans poser la division, déterminer si les nombres suivants sont divisibles par 2, 3, 5, 9 ou 10. Justifier chaque réponse.
- 2 030
- 1 728
- 3 417
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Démarche. On applique le critère du chiffre des unités (2, 5, 10) et celui de la somme des chiffres (3, 9).
- 2 030 : le chiffre des unités est 0, donc le nombre est divisible par 2, 5 et 10. La somme des chiffres est 2 + 0 + 3 + 0 = 5 : le nombre n'est pas divisible par 3 ni par 9.
- 1 728 : le chiffre des unités est 8, pair, donc divisible par 2 ; il n'est ni divisible par 5 ni par 10. La somme des chiffres est 1 + 7 + 2 + 8 = 18 : le nombre est divisible par 3 et par 9.
- 3 417 : le chiffre des unités est 7, donc le nombre n'est divisible ni par 2, ni par 5, ni par 10. La somme des chiffres est 3 + 4 + 1 + 7 = 15 : le nombre est divisible par 3, mais pas par 9.
Vérification : 1 728 = 9 × 192 et 3 417 = 3 × 1 139.
Conclusion : seul 1 728 est divisible par 9.
Exercice 3 — Décomposer en produit de facteurs premiers
- Décomposer 60 et 84 en produit de facteurs premiers.
- En déduire la forme irréductible de la fraction 60/84.
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Démarche. On divise par le plus petit nombre premier possible jusqu'à obtenir 1. La notion de décomposition en facteurs premiers est signalée au programme de l'ancien cycle 4 : ⚠️ ancien programme. Le programme actuel la présente comme exemple d'automatisme (60 = 2² × 3 × 5).
- 60 = 2 × 30 = 2 × 2 × 15 = 2 × 2 × 3 × 5, soit 2² × 3 × 5. 84 = 2 × 42 = 2 × 2 × 21 = 2 × 2 × 3 × 7, soit 2² × 3 × 7.
- Le plus grand diviseur commun est 2² × 3 = 12. On divise numérateur et dénominateur par 12 : 60/84 = (5 × 12)/(7 × 12) = 5/7. Le nombre 5 étant premier et 7 étant premier, la fraction est irréductible.
Conclusion : la forme irréductible de 60/84 est 5/7.
Exercice 4 — Un problème de rythmes
Deux feux clignotent : le premier toutes les 12 secondes, le second toutes les 18 secondes. Ils clignotent ensemble à l'instant 0.
- Quel est le premier instant, après 0, où les deux feux clignotent de nouveau ensemble ?
- Combien de fois les deux feux clignotent-ils ensemble pendant les 3 600 premières secondes, instant 0 compris et 3 600 s exclu ?
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Démarche. Les instants de clignotement du premier feu sont les multiples de 12, ceux du second les multiples de 18. Les instants communs sont les multiples communs.
- Multiples de 12 : 12, 24, 36, 48, 60… Multiples de 18 : 18, 36, 54… Le premier multiple commun non nul est 36. Les deux feux clignotent ensemble à 36 secondes.
- Les instants communs sont les multiples de 36 : 0, 36, 72, … Les instants strictement inférieurs à 3 600 sont 36 × k pour k entier avec 0 ≤ k ≤ 99, car 36 × 100 = 3 600 est exclu. Il y en a donc 100.
Conclusion : les deux feux clignotent de nouveau ensemble au bout de 36 secondes, et 100 fois ensemble pendant les 3 600 premières secondes (instant 0 compris).
Exercice 5 — Rendre une fraction irréductible
Rendre irréductible la fraction 84/126. Justifier la méthode.
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Démarche. Décomposer les deux termes en facteurs premiers, puis diviser par le produit des facteurs communs.
84 = 2² × 3 × 7 et 126 = 2 × 3² × 7. Les facteurs communs sont 2, 3 et 7, donc le plus grand diviseur commun est 2 × 3 × 7 = 42.
84/126 = (2 × 42)/(3 × 42) = 2/3.
Vérification : 2 et 3 n'ont pas d'autre diviseur commun que 1, donc la fraction est irréductible.
Conclusion : 84/126 = 2/3 sous forme irréductible.