Ces exercices appliquent la fiche : ils n'introduisent aucune règle nouvelle. Les situations sont écrites pour l'occasion. Cherchez d'abord seul, puis comparez avec le corrigé.
Exercice 1 — Calculer des images et des antécédents
On considère la fonction g définie par g(x) = 3 × x − 5.
- Calculer l'image de 4 par g, puis l'image de −2 par g.
- Déterminer l'antécédent de 16 par g.
- Déterminer l'antécédent de −8 par g.
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On remplace x par la valeur donnée. g(4) = 3 × 4 − 5 = 12 − 5 = 7. L'image de 4 par g est 7. Ensuite g(−2) = 3 × (−2) − 5 = −6 − 5 = −11. L'image de −2 par g est −11.
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Un antécédent de 16 est un nombre x tel que g(x) = 16, donc 3 × x − 5 = 16. On ajoute 5 aux deux membres : 3 × x = 21, donc x = 21 ÷ 3 = 7. Vérification : g(7) = 3 × 7 − 5 = 16. L'antécédent de 16 par g est 7.
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On résout 3 × x − 5 = −8. Alors 3 × x = −3, donc x = −1. Vérification : g(−1) = 3 × (−1) − 5 = −8. L'antécédent de −8 par g est −1.
Barème indicatif : 1 point par image, 1 point par antécédent, soit 4 points.
Exercice 2 — Un tableau de valeurs
Un loueur de vélos pratique le tarif suivant : un forfait de 3 € pour la location, plus 4 € par heure. On note x la durée de location en heures et p(x) le prix payé en euros.
- Compléter le tableau.
| Durée x (h) | 1 | 2 | 3 | 5 |
|---|---|---|---|---|
| Prix p(x) (€) |
- Écrire une formule qui donne p(x).
- Le prix est-il proportionnel à la durée ? Justifier.
- Quel est le prix pour 8 h ? Quelle durée correspond à un prix de 31 € ?
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- Pour x heures, le prix est 3 + 4 × x. Pour 1 h : 3 + 4 = 7. Pour 2 h : 3 + 8 = 11. Pour 3 h : 3 + 12 = 15. Pour 5 h : 3 + 20 = 23.
| Durée x (h) | 1 | 2 | 3 | 5 |
|---|---|---|---|---|
| Prix p(x) (€) | 7 | 11 | 15 | 23 |
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p(x) = 4 × x + 3.
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Calculons les quotients prix ÷ durée : 7 ÷ 1 = 7 et 11 ÷ 2 = 5,5. Les quotients ne sont pas égaux, donc le prix n'est pas proportionnel à la durée. Cela vient du forfait de 3 €, qui ne dépend pas de la durée.
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Pour 8 h : p(8) = 4 × 8 + 3 = 35. Le prix pour 8 h est de 35 €. Pour un prix de 31 €, on résout 4 × x + 3 = 31, donc 4 × x = 28 et x = 7. Une location de 7 h coûte 31 €. Vérification : 4 × 7 + 3 = 31.
Barème indicatif : 2 points + 1 point + 1 point + 2 points, soit 6 points.
Exercice 3 — Lire des images et des antécédents
Soit h la fonction définie par h(x) = x × x − 4. On a tracé sa courbe dans un repère orthogonal. Voici les coordonnées de sept points de la courbe, sous la forme (x ; h(x)) : (−3 ; 5), (−2 ; 0), (−1 ; −3), (0 ; −4), (1 ; −3), (2 ; 0), (3 ; 5).
- Donner l'image de 0 par h, puis l'image de 3 par h.
- Donner les antécédents de 0 par h.
- Donner les antécédents de 5 par h.
- Le nombre −5 a-t-il un antécédent par h ? Justifier à partir de la formule.
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Le point d'abscisse 0 a pour ordonnée −4 : l'image de 0 est −4. Le point d'abscisse 3 a pour ordonnée 5 : l'image de 3 est 5. Calcul de contrôle : h(3) = 3 × 3 − 4 = 5.
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Les points d'ordonnée 0 sont (−2 ; 0) et (2 ; 0). Les antécédents de 0 sont donc −2 et 2. Contrôle : h(2) = 2 × 2 − 4 = 0 et h(−2) = (−2) × (−2) − 4 = 0.
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Les points d'ordonnée 5 sont (−3 ; 5) et (3 ; 5). Les antécédents de 5 sont −3 et 3.
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Si −5 avait un antécédent x, on aurait x × x − 4 = −5, donc x × x = −1. Or un produit x × x n'est jamais négatif, donc −5 n'a aucun antécédent par h. Le tableau de points ne suffit pas à le conclure : c'est le raisonnement sur la formule qui le prouve.
Barème indicatif : 2 points + 1 point + 1 point + 2 points, soit 6 points.
Exercice 4 — Comparer deux tarifs
Une salle de cinéma propose deux tarifs.
- Tarif A : 8 € la place.
- Tarif B : un abonnement de 20 €, puis 5 € la place.
On note x le nombre de places achetées, a(x) le coût au tarif A et b(x) le coût au tarif B, en euros.
- Écrire les formules de a(x) et de b(x).
- Compléter le tableau pour x = 2, 4, 6, 8, 10.
- Une des deux fonctions est-elle proportionnelle au nombre de places ? Justifier.
- À partir de combien de places le tarif B est-il le plus avantageux ? On pourra calculer a(6), b(6), a(7), b(7).
- Avec un budget de 100 €, combien de places peut-on acheter au maximum avec chaque tarif ?
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a(x) = 8 × x et b(x) = 20 + 5 × x.
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Tableau :
| x | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|
| a(x) (€) | 16 | 32 | 48 | 64 | 80 |
| b(x) (€) | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 |
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Pour a : 16 ÷ 2 = 8, 32 ÷ 4 = 8, 48 ÷ 6 = 8 ; le quotient est toujours 8, donc le coût au tarif A est proportionnel au nombre de places, de coefficient 8. Pour b : 30 ÷ 2 = 15 et 40 ÷ 4 = 10 ; les quotients diffèrent, donc le coût au tarif B n'est pas proportionnel.
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a(6) = 48 et b(6) = 50 : à 6 places, le tarif A est moins cher. a(7) = 56 et b(7) = 55 : à 7 places, le tarif B est moins cher. L'écart a(x) − b(x) = 3 × x − 20 augmente avec x, donc le tarif B reste moins cher pour 7 places et plus. Le tarif B est plus avantageux à partir de 7 places.
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Tarif B : 20 + 5 × x ≤ 100 donne 5 × x ≤ 80, soit x ≤ 16 : on peut acheter 16 places (coût exactement 100 €). Tarif A : 8 × x ≤ 100 donne x ≤ 12,5, donc 12 places au maximum (coût 96 €). Conclusion : avec 100 €, on peut acheter 16 places au tarif B et 12 places au tarif A.
Barème indicatif : 1 point + 1 point + 2 points + 3 points + 2 points, soit 9 points.