Ces exercices appliquent la règle de la fiche : ils n'introduisent aucune règle nouvelle. Les énoncés sont écrits pour l'occasion. Cherchez d'abord seul, puis comparez avec le corrigé. Chaque corrigé donne le résultat, la propriété utilisée, le calcul, puis la phrase de conclusion quand la question est un problème.
Exercice 1 — Enchaîner des calculs
Calculer, en justifiant l'ordre des opérations, les expressions suivantes :
- A = 6 − 2 × 2
- B = (6 − 2) × 2
- C = 6 × 2 − 2
- D = 12 − 8 ÷ 2 + 1
Classer ensuite les résultats de A, B, C et D du plus petit au plus grand.
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Démarche. Dans chaque expression, on effectue d'abord les parenthèses, puis les multiplications et divisions, puis les additions et soustractions.
- A : on calcule 2 × 2 = 4, puis 6 − 4 = 2.
- B : la parenthèse est calculée en premier, 6 − 2 = 4, puis 4 × 2 = 8.
- C : on calcule 6 × 2 = 12, puis 12 − 2 = 10.
- D : on calcule 8 ÷ 2 = 4, puis 12 − 4 = 8, et enfin 8 + 1 = 9.
Classement des quatre résultats : A = 2 < B = 8 < D = 9 < C = 10.
Conclusion : les expressions A, B et C ne diffèrent que par la place des parenthèses et des opérations, et donnent trois résultats différents.
Exercice 2 — Un programme de calcul
On choisit un nombre de départ x. On effectue les étapes suivantes :
- multiplier par 2 ;
- ajouter 6 ;
- diviser par 2 ;
- soustraire le nombre de départ x.
- Appliquer ce programme au nombre 4, puis au nombre 7.
- Montrer que, quel que soit le nombre de départ, le résultat est 3.
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Démarche. On applique les étapes dans l'ordre, puis on écrit une expression avec la lettre x.
-
Pour x = 4 : 4 × 2 = 8 ; 8 + 6 = 14 ; 14 ÷ 2 = 7 ; 7 − 4 = 3. Pour x = 7 : 7 × 2 = 14 ; 14 + 6 = 20 ; 20 ÷ 2 = 10 ; 10 − 7 = 3.
-
Avec la lettre x, les deux premières étapes donnent 2 × x + 6. On divise par 2 : (2 × x + 6) ÷ 2 = x + 3. On soustrait ensuite x : x + 3 − x = 3.
Conclusion : quel que soit le nombre de départ, le programme donne 3. Deux essais (question 1) ne suffisent pas à le démontrer ; c'est le calcul avec la lettre x (question 2) qui établit le résultat pour tous les nombres.
Erreur fréquente. Conclure à un résultat constant après avoir testé un seul nombre. Un seul essai ne démontre rien ; une démonstration passe par une expression avec la lettre x.
Exercice 3 — Division euclidienne dans un problème
Une classe de 47 élèves doit s'installer à des tables de 6 places. On veut que chaque élève ait une place.
- Combien de tables complètes peut-on utiliser ? Combien d'élèves restent alors ?
- Combien de tables faut-il en tout ? Justifier.
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Démarche. La division euclidienne de 47 par 6 donne le nombre de tables complètes (le quotient) et le nombre d'élèves restants (le reste).
- On écrit 47 = 6 × 7 + 5, avec 0 ≤ 5 < 6. Il y a donc 7 tables complètes, et 5 élèves restent.
- Les 5 élèves restants ont besoin d'une table supplémentaire. Il faut donc 8 tables en tout. Vérification : 8 × 6 = 48 ≥ 47, et 7 × 6 = 42 < 47.
Conclusion : il faut 8 tables pour asseoir les 47 élèves ; la réponse n'est pas 7, qui est le quotient seul.
Exercice 4 — Diviser par un nombre décimal
Un atelier dispose d'une bande de ruban de 3,6 m. Il découpe des morceaux de 0,6 m.
- Combien de morceaux peut-il obtenir ?
- Vérifier le résultat par une multiplication.
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Démarche. Le nombre de morceaux est le quotient de 3,6 par 0,6. On multiplie le dividende et le diviseur par 10 pour obtenir un diviseur entier.
- 3,6 ÷ 0,6 = 36 ÷ 6 = 6. Il peut obtenir 6 morceaux.
- Vérification : 6 × 0,6 = 3,6. Le résultat est correct.
Conclusion : l'atelier obtient 6 morceaux de 0,6 m. Le calcul 3,6 × 0,6 = 2,16 ne répond pas à la question : il s'agit d'une multiplication, et non d'un partage.
Exercice 5 — Contrôler la vraisemblance d'un résultat
Un élève affirme que 4,9 × 19,8 = 9,702. Vérifier cette affirmation sans poser le calcul complet, puis calculer le produit exact.
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Démarche. On estime le produit par des nombres ronds, puis on compare avec le calcul exact.
- Estimation : 4,9 est proche de 5 et 19,8 est proche de 20. Le produit est donc voisin de 5 × 20 = 100.
- Le résultat de l'élève, 9,702, est environ dix fois plus petit que 100 : il est donc invraisemblable. L'élève a probablement mal placé la virgule.
- Calcul exact : 4,9 × 19,8 = 97,02. Ce résultat est voisin de 100, il est donc vraisemblable.
Conclusion : l'affirmation de l'élève est fausse ; le produit exact est 97,02.