Ces exercices appliquent la fiche « Probabilités : vocabulaire, équiprobabilité, événement contraire » : ils n'introduisent aucune règle nouvelle. Cherchez d'abord seul, puis comparez avec le corrigé. Chaque corrigé liste les issues, justifie l'équiprobabilité, puis calcule et conclut.
Exercice 1 — Tirage dans une urne
Une urne contient 3 boules rouges et 7 boules vertes, indiscernables au toucher. On tire une boule au hasard.
- Justifiez qu'il y a équiprobabilité des boules au tirage.
- Calculez la probabilité de tirer une boule rouge, puis celle de tirer une boule verte.
- Vérifiez que les deux probabilités ont pour somme 1.
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Démarche. Les boules sont indiscernables au toucher : le tirage ne privilégie aucune boule. Il y a donc équiprobabilité, et la probabilité d'un événement est le nombre de boules favorables divisé par le nombre total de boules.
- Le tirage est au hasard et les boules ne peuvent pas être distinguées : chaque boule a la même chance d'être tirée. L'hypothèse d'équiprobabilité est justifiée par cet argument de symétrie.
- Il y a 10 boules au total. P(rouge) = 3 ÷ 10 = 0,3 et P(verte) = 7 ÷ 10 = 0,7.
- 0,3 + 0,7 = 1. Les deux événements sont contraires l'un de l'autre.
Conclusion. La probabilité de tirer une boule rouge est 0,3 (soit 30 %), celle de tirer une boule verte est 0,7 (soit 70 %).
Exercice 2 — Deux pièces et événement contraire
On lance deux pièces équilibrées. Calculez la probabilité d'obtenir au moins un pile. On pourra utiliser l'événement contraire.
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Démarche. Les issues possibles sont PP, PF, FP et FF, équiprobables (quatre couples). L'événement « au moins un pile » contient PP, PF et FP. Son événement contraire est « aucun pile », qui ne contient que FF.
P(FF) = 1/4. Donc P(au moins un pile) = 1 − 1/4 = 3/4.
Vérification directe : 3 issues favorables (PP, PF, FP) sur 4, soit 3/4.
Conclusion. La probabilité d'obtenir au moins un pile est 3/4 (soit 0,75).
Exercice 3 — Événements d'un dé
On lance un dé équilibré à six faces. On considère les événements :
A : « obtenir un multiple de 3 » ;
B : « obtenir un nombre strictement supérieur à 4 » ;
C : « ne pas obtenir 6 ».
- Donnez la probabilité de A, celle de B, et comparez-les.
- Calculez la probabilité de C à l'aide de l'événement contraire.
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Démarche. Les six issues 1, 2, 3, 4, 5 et 6 sont équiprobables. On liste les issues de chaque événement.
- A = {3 ; 6} : P(A) = 2/6 = 1/3. B = {5 ; 6} : P(B) = 2/6 = 1/3. Les deux probabilités sont égales.
- L'événement contraire de C est « obtenir 6 », de probabilité 1/6. Donc P(C) = 1 − 1/6 = 5/6. Vérification directe : C contient 5 issues (1, 2, 3, 4, 5), donc 5/6.
Conclusion. P(A) = P(B) = 1/3, et P(C) = 5/6.
Exercice 4 — Deux dés
On lance deux dés équilibrés à six faces et on note les deux faces obtenues. Il y a 36 couples de résultats, équiprobables.
- Calculez la probabilité que la somme des faces soit égale à 10.
- Calculez la probabilité que les deux faces soient identiques.
- En déduisez la probabilité que les deux faces soient différentes.
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Démarche. On compte les couples de résultats, et non les sommes, car les sommes ne sont pas équiprobables.
- Les couples de somme 10 sont (4 ; 6), (5 ; 5) et (6 ; 4) : il y en a 3. P = 3/36 = 1/12.
- Les couples identiques sont (1 ; 1), (2 ; 2), (3 ; 3), (4 ; 4), (5 ; 5) et (6 ; 6) : il y en a 6. P = 6/36 = 1/6.
- L'événement « les deux faces sont différentes » est le contraire de « les deux faces sont identiques ». Sa probabilité est 1 − 1/6 = 5/6.
Conclusion. La somme 10 a une probabilité de 1/12, deux faces identiques ont une probabilité de 1/6, et deux faces différentes ont une probabilité de 5/6.