Ces exercices appliquent la fiche : ils n'introduisent aucune règle nouvelle. Les programmes sont écrits pour l'occasion. Cherchez d'abord seul, puis comparez avec le corrigé.
Exercice 1 — Appliquer un programme
Programme : choisir un nombre ; lui ajouter 6 ; multiplier le résultat par 5 ; soustraire 10.
- Appliquer ce programme au nombre 3, puis au nombre −4, puis au nombre 2,5.
- Écrire une expression qui donne le résultat pour un nombre de départ x, puis la réduire.
- Contrôler l'expression réduite avec le nombre 3.
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Départ 3 : 3 + 6 = 9 ; 9 × 5 = 45 ; 45 − 10 = 35. Le résultat est 35. Départ −4 : −4 + 6 = 2 ; 2 × 5 = 10 ; 10 − 10 = 0. Le résultat est 0. Départ 2,5 : 2,5 + 6 = 8,5 ; 8,5 × 5 = 42,5 ; 42,5 − 10 = 32,5. Le résultat est 32,5.
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Avec x au départ : x + 6, puis (x + 6) × 5 (les parenthèses sont nécessaires car on multiplie toute la somme), puis (x + 6) × 5 − 10. On réduit : (x + 6) × 5 = 5 × x + 30, donc l'expression vaut 5 × x + 30 − 10 = 5 × x + 20.
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Pour x = 3 : 5 × 3 + 20 = 35, ce qui est le résultat trouvé à la question 1. Pour x = −4 : 5 × (−4) + 20 = 0, résultat cohérent aussi.
Barème indicatif : 3 points + 2 points + 1 point, soit 6 points.
Exercice 2 — Remonter un programme
Programme : choisir un nombre ; le multiplier par 4 ; soustraire 9 ; diviser le résultat par 3.
- Quel nombre faut-il choisir pour obtenir 5 ?
- Quel nombre faut-il choisir pour obtenir −7 ?
- Peut-on obtenir 0 ? Si oui, avec quel nombre de départ ?
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On remonte le programme en partant du résultat 5 et en effectuant les opérations inverses dans l'ordre contraire : 5 × 3 = 15 (inverse de « diviser par 3 ») ; 15 + 9 = 24 (inverse de « soustraire 9 ») ; 24 ÷ 4 = 6 (inverse de « multiplier par 4 »). Le nombre de départ est 6. Contrôle : 6 × 4 = 24 ; 24 − 9 = 15 ; 15 ÷ 3 = 5.
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Pour −7 : −7 × 3 = −21 ; −21 + 9 = −12 ; −12 ÷ 4 = −3. Le nombre de départ est −3. Contrôle : −3 × 4 = −12 ; −12 − 9 = −21 ; −21 ÷ 3 = −7.
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Pour 0 : 0 × 3 = 0 ; 0 + 9 = 9 ; 9 ÷ 4 = 2,25. On peut obtenir 0 en choisissant 2,25. Contrôle : 2,25 × 4 = 9 ; 9 − 9 = 0 ; 0 ÷ 3 = 0.
Barème indicatif : 2 points + 2 points + 2 points, soit 6 points.
Exercice 3 — Prouver un résultat constant
Programme : choisir un nombre ; le multiplier par 5 ; ajouter 10 ; diviser par 5 ; soustraire le nombre de départ.
- Tester ce programme avec les nombres 3 et 8. Que remarque-t-on ?
- Démontrer que le résultat ne dépend pas du nombre de départ.
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Départ 3 : 3 × 5 = 15 ; 15 + 10 = 25 ; 25 ÷ 5 = 5 ; 5 − 3 = 2. Départ 8 : 8 × 5 = 40 ; 40 + 10 = 50 ; 50 ÷ 5 = 10 ; 10 − 8 = 2. On obtient 2 dans les deux cas : on peut conjecturer que le résultat est toujours 2. Ces deux essais ne le prouvent pas.
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Avec x au départ : x × 5, puis 5 × x + 10, puis (5 × x + 10) ÷ 5, puis (5 × x + 10) ÷ 5 − x. On divise chaque terme de la somme par 5 : (5 × x) ÷ 5 = x et 10 ÷ 5 = 2, donc (5 × x + 10) ÷ 5 = x + 2. Le résultat est x + 2 − x = 2. La lettre disparaît : quel que soit le nombre choisi, le résultat est 2.
Barème indicatif : 2 points + 3 points, soit 5 points.
Exercice 4 — Comparer deux programmes
Deux programmes de calcul sont proposés.
- Programme P1 : choisir un nombre ; lui ajouter 3 ; multiplier le résultat par 4.
- Programme P2 : choisir un nombre ; le multiplier par 4 ; lui ajouter 3.
- Appliquer chaque programme au nombre 5.
- Écrire pour chacun une expression du résultat avec x comme nombre de départ, puis la réduire.
- Existe-t-il un nombre pour lequel les deux programmes donnent le même résultat ? Justifier.
- Montrer que l'écart entre les deux résultats est le même pour tous les nombres.
- Quel nombre faut-il choisir pour que P1 donne 40 ? Et pour que P2 donne 40 ?
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P1 : 5 + 3 = 8 ; 8 × 4 = 32. P2 : 5 × 4 = 20 ; 20 + 3 = 23. Avec 5, P1 donne 32 et P2 donne 23.
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P1 : (x + 3) × 4 = 4 × x + 12. P2 : x × 4 + 3 = 4 × x + 3.
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Les deux résultats sont égaux si 4 × x + 12 = 4 × x + 3. En retranchant 4 × x des deux membres, on obtiendrait 12 = 3, ce qui est faux. Il n'existe donc aucun nombre pour lequel les deux programmes donnent le même résultat.
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L'écart est (4 × x + 12) − (4 × x + 3) = 12 − 3 = 9. Il vaut 9 pour tout nombre x : P1 donne toujours 9 de plus que P2. Contrôle avec x = 5 : 32 − 23 = 9.
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Pour P1 : 4 × x + 12 = 40, donc 4 × x = 28 et x = 7. Contrôle : (7 + 3) × 4 = 40. Pour P2 : 4 × x + 3 = 40, donc 4 × x = 37 et x = 9,25. Contrôle : 9,25 × 4 = 37 ; 37 + 3 = 40.
Barème indicatif : 1 point + 2 points + 2 points + 2 points + 2 points, soit 9 points.