Ces exercices appliquent la règle de la fiche : ils n'introduisent aucune règle nouvelle. Les situations sont écrites pour l'occasion. Cherchez d'abord seul, puis comparez avec le corrigé. Dans chaque corrigé, la réponse est suivie de sa justification, du calcul avec les unités, puis de la phrase de conclusion.
Exercice 1 — Reconnaître une situation de proportionnalité
Un loueur de vélos affiche les tarifs suivants pour des locations d'un même vélo.
| Durée de location (h) | 2 | 3 | 5 | 8 |
|---|---|---|---|---|
| Prix (€) | 9 | 13,5 | 22,5 | 36 |
- La situation est-elle une situation de proportionnalité ? Justifiez.
- Si oui, donnez le coefficient de proportionnalité et son sens concret.
Un second loueur propose le tableau suivant pour un même type de trottinette.
| Durée de location (h) | 1 | 2 | 4 |
|---|---|---|---|
| Prix (€) | 5 | 8 | 16 |
- Ce second tableau représente-t-il une situation de proportionnalité ? Justifiez.
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Démarche. On calcule pour chaque couple le quotient prix ÷ durée. Si tous les quotients sont égaux, la situation est proportionnelle.
- Premier tableau : 9 ÷ 2 = 4,5 ; 13,5 ÷ 3 = 4,5 ; 22,5 ÷ 5 = 4,5 ; 36 ÷ 8 = 4,5. Les quotients sont égaux. Oui, la situation est une situation de proportionnalité : chaque durée est multipliée par 4,5 pour donner le prix correspondant.
- Le coefficient de proportionnalité est 4,5. Son sens concret est le prix d'une heure de location : 4,5 € par heure.
- Second tableau : 5 ÷ 1 = 5 ; 8 ÷ 2 = 4 ; 16 ÷ 4 = 4. Les quotients ne sont pas tous égaux (5 ≠ 4). Non, ce tableau ne représente pas une situation de proportionnalité. Le prix de 2 heures n'est pas le double du prix de 1 heure.
Conclusion : le premier loueur applique un tarif proportionnel de 4,5 € par heure ; le second ne le fait pas.
Exercice 2 — Coefficient et calcul
Un fleuriste vend des bouquets identiques. Trois bouquets coûtent 22,50 €.
- Quel est le prix d'un bouquet ?
- Combien coûtent 7 bouquets ?
- Le fleuriste fait une remise de 10 % sur un achat de 7 bouquets. Quel est le montant payé ?
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Démarche. Le prix est proportionnel au nombre de bouquets : le coefficient est le prix unitaire.
- Le coefficient est 22,50 ÷ 3 = 7,50 € par bouquet.
- 7 × 7,50 = 52,50. Les 7 bouquets coûtent 52,50 €.
- Une remise de 10 % revient à multiplier par 0,9 : 52,50 × 0,9 = 47,25. Le montant payé est 47,25 €.
Conclusion : un bouquet coûte 7,50 € ; 7 bouquets coûtent 52,50 €, et 47,25 € avec la remise de 10 %.
Point de rédaction : le calcul de la remise est une étape distincte, avec le coefficient 0,9. On ne l'additionne pas à 52,50 €.
Exercice 3 — Quatrième proportionnelle
Une recette de crêpes pour 4 personnes utilise 300 g de farine. On suppose que la quantité de farine est proportionnelle au nombre de personnes.
- Quelle quantité de farine faut-il pour 6 personnes ?
- Écrivez l'égalité de rapports qui permet de répondre à la question 1, puis résolvez-la.
- Combien de personnes peut-on servir avec 450 g de farine ?
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Démarche. On écrit une égalité de rapports entre les personnes et la farine.
- Coefficient : 300 ÷ 4 = 75 g par personne. Pour 6 personnes : 6 × 75 = 450 g.
- On pose 4/300 = 6/x. Donc x = 300 × 6 ÷ 4 = 1 800 ÷ 4 = 450. La quantité est bien 450 g.
- Le coefficient est 75 g par personne. 450 ÷ 75 = 6. On peut servir 6 personnes.
Conclusion : il faut 450 g de farine pour 6 personnes ; avec 450 g, on sert 6 personnes.
Point de rédaction : l'égalité de rapports doit faire apparaître les unités ou au moins l'ordre des grandeurs (personnes au numérateur, grammes au dénominateur, dans la même position des deux côtés).
Exercice 4 — Problème : débit d'un robinet
Un robinet remplit 4 bidons identiques de 15 L chacun en 20 minutes. Le débit du robinet est supposé constant.
- Quel volume le robinet fournit-il en 20 minutes ? En déduire son débit en litres par minute.
- Combien de temps faut-il pour remplir 9 bidons de 15 L ?
- Quel volume d'eau le robinet fournit-il en 30 minutes ?
- Le volume et la durée sont-ils proportionnels ? Justifiez.
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Démarche. Le volume et la durée sont liés par le débit, qui est un coefficient de proportionnalité.
- Volume : 4 × 15 = 60 L. Débit : 60 ÷ 20 = 3 L/min.
- 9 bidons contiennent 9 × 15 = 135 L. Durée : 135 ÷ 3 = 45 minutes.
- En 30 minutes : 30 × 3 = 90 L.
- Le volume est égal à 3 × durée, avec la durée en minutes : le volume est proportionnel à la durée. Vérification sur les couples : 60 ÷ 20 = 3 ; 90 ÷ 30 = 3 ; 135 ÷ 45 = 3. Les quotients sont égaux : oui, les deux grandeurs sont proportionnelles, de coefficient 3 L/min.
Conclusion : le robinet débite 3 L par minute ; il faut 45 minutes pour remplir 9 bidons, et il fournit 90 L en 30 minutes.
Point de rédaction : le coefficient porte une unité (L/min). La réponse à la question 2 doit être donnée avec son unité (minutes).
Exercice 5 — Une relation qui n'est pas proportionnelle
Un forfait téléphonique coûte 10 € par mois, plus 0,10 € par SMS envoyé.
- Complétez le tableau suivant.
| Nombre de SMS | 0 | 100 | 200 |
|---|---|---|---|
| Coût mensuel (€) |
- Le coût mensuel est-il proportionnel au nombre de SMS ? Justifiez en utilisant le tableau.
- Quel est le coût pour 350 SMS ?
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Démarche. Le forfait fixe de 10 € s'ajoute au coût des SMS. On calcule chaque valeur, puis on teste la règle de la multiplication par un même nombre.
- Avec 0 SMS, le coût est 10 €. Avec 100 SMS, 10 + 100 × 0,10 = 20 €. Avec 200 SMS, 10 + 200 × 0,10 = 30 €.
- Non, le coût n'est pas proportionnel au nombre de SMS. Pour 0 SMS, le coût est 10 € et non 0 : une situation de proportionnalité associe toujours 0 à 0 (multiplier 0 par un nombre donne 0). Le coût de 200 SMS (30 €) n'est pas 2 fois celui de 100 SMS (20 €) : 2 × 20 = 40 ≠ 30.
- Pour 350 SMS : 10 + 350 × 0,10 = 10 + 35 = 45 €.
Conclusion : le coût mensuel n'est pas proportionnel au nombre de SMS, à cause du forfait fixe. Avec 350 SMS, le coût est de 45 €.
Point de rédaction : pour montrer qu'une situation n'est pas proportionnelle, un seul contre-exemple suffit. Le couple (0 ; 10) suffit ici, mais le candidat peut aussi comparer deux couples non nuls.