Ces exercices appliquent les règles de la fiche : ils n'introduisent aucune règle nouvelle. Les énoncés sont écrits pour l'occasion. Cherchez d'abord seul, puis comparez avec le corrigé. Chaque corrigé donne la méthode, le résultat et, pour un problème, la phrase de conclusion.
Exercice 1 — Calculer des valeurs
Énoncé
Calculer la valeur de chaque expression.
- 25
- (−3)3
- −42
- 52 + 2 × 33
- (−1)7 et (−1)10
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Démarche. La puissance s'effectue avant le produit et la somme. Un exposant n compte le nombre de facteurs.
- 25 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32.
- (−3)3 = (−3) × (−3) × (−3) = 9 × (−3) = −27.
- −42 = −(4 × 4) = −16 : le carré ne porte que sur le 4, pas sur le signe moins.
- 52 + 2 × 33 = 25 + 2 × 27 = 25 + 54 = 79.
- (−1)7 = −1 (exposant impair) et (−1)10 = 1 (exposant pair).
Exercice 2 — Produits et quotients de puissances
Énoncé
Écrire chaque expression sous la forme d'une seule puissance, puis donner sa valeur.
- 34 × 32
- 78 ÷ 75
- 24 × 54
- 123 ÷ 43
- 10−2 × 105
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Démarche. Même base : on additionne les exposants pour un produit et on les soustrait pour un quotient. Même exposant : on multiplie ou on divise les bases.
- 34 × 32 = 34+2 = 36 = 729.
- 78 ÷ 75 = 78−5 = 73 = 343.
- 24 × 54 = (2 × 5)4 = 104 = 10 000.
- 123 ÷ 43 = (12 ÷ 4)3 = 33 = 27. Contrôle : 1 728 ÷ 64 = 27.
- 10−2 × 105 = 10−2+5 = 103 = 1 000. Contrôle : 0,01 × 100 000 = 1 000.
Exercice 3 — Puissances de 10
Énoncé
- Écrire 0,0001 et 0,0037 avec des puissances de 10 : 0,0001 = 10… ; 0,0037 = 3,7 × 10….
- Donner l'écriture décimale de 10−5, de 4,5 × 103 et de 8 × 10−2.
- Compléter : 25 000 = 2,5 × 10….
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- 0,0001 = 1/10 000 = 1/104 = 10−4. 0,0037 = 3,7/1 000 = 3,7 × 1/103 = 3,7 × 10−3.
- 10−5 = 1/100 000 = 0,000 01. 4,5 × 103 = 4,5 × 1 000 = 4 500. 8 × 10−2 = 8/100 = 0,08.
- 25 000 = 2,5 × 10 000 = 2,5 × 104.
Exercice 4 — Dénombrer avec des puissances
Énoncé
- Un code de carte comporte 4 chiffres, chacun pouvant être choisi de 0 à 9. Combien de codes différents existe-t-il ? Et avec 6 chiffres ? Combien de fois plus ?
- Un code est formé de 2 lettres (parmi 26) suivies de 3 chiffres (de 0 à 9). Combien de codes existe-t-il ?
- Une culture compte 5 bactéries au départ, et leur nombre double chaque heure. Combien y en a-t-il après 6 heures ?
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- Chaque chiffre a 10 choix : 10 × 10 × 10 × 10 = 104 = 10 000 codes. Avec 6 chiffres : 106 = 1 000 000 codes. Le rapport est 106 ÷ 104 = 102 = 100 : il y a 100 fois plus de codes.
- Pour les lettres : 26 × 26 = 262 = 676 possibilités. Pour les chiffres : 103 = 1 000. Au total : 676 × 1 000 = 676 000 codes.
- Après 6 doublements, le nombre de bactéries est multiplié par 26 = 64. Il y en a 5 × 64 = 320 après 6 heures (en supposant que le doublement se produit exactement chaque heure).
Exercice 5 — Vrai ou faux ? Justifier
Énoncé
Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse et le justifier.
- 23 × 24 = 47.
- 32 + 32 = 34.
- 10−2 est plus grand que 10−3.
- (−2)4 = −24.
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- Faux. 23 × 24 = 27 = 128, car on additionne les exposants sans changer la base. Or 47 = 16 384.
- Faux. 32 + 32 = 9 + 9 = 18, alors que 34 = 81. La règle des exposants concerne un produit, pas une somme : 32 + 32 = 2 × 32.
- Vrai. 10−2 = 0,01 et 10−3 = 0,001, et 0,01 > 0,001.
- Faux. (−2)4 = (−2) × (−2) × (−2) × (−2) = 16, alors que −24 = −(2 × 2 × 2 × 2) = −16.