Ces exercices appliquent la fiche « Effectifs cumulés, quartiles et boîtes à moustaches » : ils n'introduisent aucune règle nouvelle. Les quartiles sont calculés avec la convention de la fiche : Q1 est la plus petite valeur telle qu'au moins 25 % des valeurs lui soient inférieures ou égales, Q3 la plus petite valeur telle qu'au moins 75 % lui soient inférieures ou égales. Cherchez d'abord seul, puis comparez avec le corrigé.
Exercice 1 — Série en tableau
Une bibliothèque a relevé le nombre de livres empruntés en un mois par 31 lecteurs.
| Nombre de livres | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Effectif | 3 | 6 | 9 | 7 | 4 | 2 |
- Complétez le tableau avec les effectifs cumulés croissants.
- Déterminez la médiane, le premier quartile et le troisième quartile.
- Interprétez Q3 par une phrase.
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1. Effectifs cumulés croissants. On additionne au fur et à mesure : 3 ; 3 + 6 = 9 ; 9 + 9 = 18 ; 18 + 7 = 25 ; 25 + 4 = 29 ; 29 + 2 = 31. Le dernier effectif cumulé, 31, est bien l'effectif total.
| Nombre de livres | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Effectif cumulé croissant | 3 | 9 | 18 | 25 | 29 | 31 |
2. Médiane et quartiles. L'effectif total 31 est impair : la médiane est la valeur de rang 16. L'effectif cumulé de la valeur 1 est 9 (inférieur à 16) et celui de la valeur 2 est 18 (supérieur ou égal à 16) : la médiane est 2.
Pour Q1, 31/4 = 7,75, donc le rang 8. L'effectif cumulé de la valeur 0 est 3 (inférieur à 8), celui de la valeur 1 est 9 (supérieur ou égal à 8) : Q1 = 1.
Pour Q3, 3 × 31/4 = 23,25, donc le rang 24. L'effectif cumulé de la valeur 2 est 18 (inférieur à 24), celui de la valeur 3 est 25 (supérieur ou égal à 24) : Q3 = 3.
3. Interprétation. Q3 = 3 : au moins 75 % des lecteurs ont emprunté 3 livres ou moins.
Exercice 2 — Données brutes et valeur extrême
Un salarié a relevé la durée en minutes de ses 11 derniers trajets. Rangés dans l'ordre croissant : 12 ; 15 ; 15 ; 18 ; 20 ; 22 ; 22 ; 25 ; 30 ; 31 ; 45.
- Déterminez la médiane, Q1 et Q3, puis l'étendue et l'écart interquartile.
- Un jour de grève, le trajet de 45 minutes dure 90 minutes. Que deviennent la médiane, les quartiles, l'étendue et la moyenne ?
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1. Indicateurs. Il y a 11 valeurs. La médiane est la sixième : 22 minutes. Pour Q1, 11/4 = 2,75 donc le rang 3 : Q1 = 15 minutes. Pour Q3, 3 × 11/4 = 8,25 donc le rang 9 : Q3 = 30 minutes. L'étendue est 45 − 12 = 33 minutes ; l'écart interquartile est 30 − 15 = 15 minutes.
2. Avec 90 minutes. La plus grande valeur passe de 45 à 90 mais reste la dernière de la liste : les rangs ne changent pas. La médiane (22), Q1 (15) et Q3 (30) sont inchangés. L'étendue devient 90 − 12 = 78 minutes. La somme passe de 255 à 300, donc la moyenne passe de 255/11 ≈ 23,2 minutes à 300/11 ≈ 27,3 minutes (au dixième près).
Conclusion. Une valeur extrême modifie fortement l'étendue et la moyenne, mais pas la médiane ni les quartiles. L'écart interquartile reste 15 minutes.
Exercice 3 — Construire et lire une boîte à moustaches
Pour une série de notes, on donne : minimum 4, Q1 = 9, médiane 12, Q3 = 15, maximum 19.
- Décrivez la boîte à moustaches sur un axe gradué de 0 à 20.
- Calculez l'étendue et l'écart interquartile.
- Un élève écrit : « Exactement la moitié des élèves a une note comprise entre 9 et 15. » Que faut-il corriger ?
- Un élève écrit : « La boîte est large, donc la classe est nombreuse. » Que faut-il corriger ?
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1. La boîte. Sur l'axe, on trace un rectangle de l'abscisse 9 à l'abscisse 15, avec un trait vertical à 12 (la médiane). Une moustache va du côté gauche de la boîte jusqu'à 4 ; l'autre va du côté droit jusqu'à 19.
2. Étendue et écart interquartile. L'étendue est 19 − 4 = 15. L'écart interquartile est 15 − 9 = 6.
3. Correction. Par définition des quartiles, au moins 25 % des valeurs sont inférieures ou égales à Q1 et au moins 75 % sont inférieures ou égales à Q3. On peut donc écrire : « Au moins la moitié des élèves ont une note comprise entre 9 et 15 » (en pratique, le pourcentage dépend des valeurs égales aux quartiles). L'affirmation « exactement » n'est pas justifiée.
4. Correction. Une boîte à moustaches ne donne aucune information sur l'effectif : deux séries de tailles différentes peuvent avoir la même boîte. La largeur de la boîte mesure la dispersion des valeurs centrales (ici 6 points), pas le nombre d'élèves.
Exercice 4 — Comparer deux séries
Deux classes de 15 élèves passent le même test noté sur 20. Notes rangées dans l'ordre croissant.
- Classe A : 6 ; 8 ; 9 ; 10 ; 11 ; 11 ; 12 ; 12 ; 13 ; 13 ; 14 ; 14 ; 15 ; 16 ; 18.
- Classe B : 3 ; 5 ; 8 ; 9 ; 10 ; 12 ; 12 ; 12 ; 13 ; 14 ; 16 ; 17 ; 18 ; 19 ; 20.
- Pour chaque classe, donnez le minimum, Q1, la médiane, Q3 et le maximum.
- Comparez les deux classes en une ou deux phrases.
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1. Valeurs de position. Pour 15 valeurs, la médiane est la huitième. Pour Q1, 15/4 = 3,75 donc le rang 4. Pour Q3, 3 × 15/4 = 11,25 donc le rang 12.
Classe A : minimum 6, Q1 = 10 (quatrième valeur), médiane 12 (huitième), Q3 = 14 (douzième), maximum 18.
Classe B : minimum 3, Q1 = 9 (quatrième valeur), médiane 12 (huitième), Q3 = 17 (douzième), maximum 20.
2. Comparaison. Les deux classes ont la même médiane, 12 : le niveau central est identique. La classe B est plus dispersée : son écart interquartile est 17 − 9 = 8 contre 14 − 10 = 4 pour la classe A, et son étendue est 17 contre 12. Dans la classe B, on trouve à la fois des notes plus basses (minimum 3) et plus hautes (maximum 20).
Conclusion. Même niveau central (médiane 12), mais des notes plus dispersées dans la classe B.
Exercice 5 — Problème (format de l'épreuve)
Dans une école, on a demandé aux 39 élèves d'une classe combien de frères et sœurs ils ont.
| Nombre de frères et sœurs | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| Nombre d'élèves | 12 | 9 | 8 | 6 | 4 |
- Calculez le nombre moyen de frères et sœurs, au centième près.
- Complétez la ligne des effectifs cumulés croissants.
- Déterminez la médiane, Q1 et Q3, puis interprétez la médiane.
- Quel pourcentage d'élèves ont au moins deux frères et sœurs ? Donnez le résultat au dixième de pour cent.
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1. Moyenne. Somme : 0 × 12 + 1 × 9 + 2 × 8 + 3 × 6 + 4 × 4 = 0 + 9 + 16 + 18 + 16 = 59. Moyenne : 59/39 ≈ 1,51 frère ou sœur.
2. Effectifs cumulés. 12 ; 12 + 9 = 21 ; 21 + 8 = 29 ; 29 + 6 = 35 ; 35 + 4 = 39.
| Nombre de frères et sœurs | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| Effectif cumulé croissant | 12 | 21 | 29 | 35 | 39 |
3. Médiane et quartiles. L'effectif total 39 est impair : la médiane a pour rang 20. L'effectif cumulé de la valeur 0 est 12 (inférieur à 20), celui de la valeur 1 est 21 (supérieur ou égal à 20) : médiane = 1. Pour Q1, 39/4 = 9,75 donc le rang 10 : l'effectif cumulé de la valeur 0 est 12, supérieur ou égal à 10 : Q1 = 0. Pour Q3, 3 × 39/4 = 29,25 donc le rang 30 : l'effectif cumulé de la valeur 2 est 29 (inférieur à 30), celui de la valeur 3 est 35 : Q3 = 3.
Interprétation : au moins la moitié des élèves ont 1 frère ou sœur, ou moins ; au moins la moitié ont 1 frère ou sœur, ou plus.
4. Pourcentage. Les élèves qui ont au moins 2 frères et sœurs sont 8 + 6 + 4 = 18 (ou 39 − 21 = 18). Le pourcentage est 18/39 ≈ 0,4615, soit environ 46,2 %.
Conclusion. Moyenne ≈ 1,51 ; médiane 1, Q1 = 0, Q3 = 3 ; environ 46,2 % des élèves ont au moins deux frères et sœurs.