Ces exercices appliquent la fiche « Symétrie axiale et symétrie centrale » : ils n'introduisent aucune règle nouvelle. Cherchez d'abord seul, puis comparez avec le corrigé. Les figures sont décrites en toutes lettres ; vous pouvez les tracer sur papier pour vérifier.
Exercice 1 — Symétriques de points dans un repère
Dans un repère orthogonal d'origine O, on donne les points A(2 ; 3), B(−4 ; 1) et C(0 ; −2). Donnez les coordonnées des symétriques de A, de B et de C : par rapport au point O, par rapport à l'axe des abscisses, puis par rapport à l'axe des ordonnées.
Afficher le corrigéMasquer le corrigé
Par rapport à O. O est le milieu du segment qui joint un point à son symétrique : on change le signe des deux coordonnées. A' (−2 ; −3), B' (4 ; −1), C' (0 ; 2).
Par rapport à l'axe des abscisses. L'axe des abscisses est la médiatrice de chaque segment joignant un point à son symétrique : l'abscisse ne change pas, l'ordonnée change de signe. A'' (2 ; −3), B'' (−4 ; −1), C'' (0 ; 2).
Par rapport à l'axe des ordonnées. L'ordonnée ne change pas, l'abscisse change de signe. A''' (−2 ; 3), B''' (4 ; 1). Le point C(0 ; −2) est sur l'axe des ordonnées : il est son propre symétrique, C''' (0 ; −2).
Vérification pour A. Le milieu de [AA'] est ((2 + (−2))/2 ; (3 + (−3))/2) = (0 ; 0) : c'est bien O.
Exercice 2 — Trouver le centre d'un demi-tour
Dans un repère, le point A(1 ; 2) a pour image A'(5 ; 4) par un demi-tour de centre I.
- Déterminez les coordonnées de I.
- Le point B(4 ; 0) a pour image B' par ce demi-tour. Calculez les coordonnées de B'.
- Montrez que le segment [A'B'] a la même longueur que [AB].
Afficher le corrigéMasquer le corrigé
1. Le centre. Le centre I est le milieu de [AA'] : I((1 + 5)/2 ; (2 + 4)/2) = I(3 ; 3).
2. L'image de B. I est le milieu de [BB'], donc les coordonnées de I sont les moyennes de celles de B et B'. Pour l'abscisse : (4 + x)/2 = 3, donc x = 2. Pour l'ordonnée : (0 + y)/2 = 3, donc y = 6. Ainsi B'(2 ; 6).
3. La longueur. Un demi-tour conserve les longueurs : A'B' = AB. Vérification par le calcul : le déplacement de A vers B est (+3 ; −2) et celui de A' vers B' est (−3 ; +2). Dans un repère orthonormé, AB² = 3² + (−2)² = 13 et A'B'² = (−3)² + 2² = 13, donc A'B' = AB = √13.
Conclusion. I(3 ; 3), B'(2 ; 6) et A'B' = AB.
Exercice 3 — Axes et centres de symétrie
Pour chacune des figures suivantes, indiquez le nombre d'axes de symétrie et dites si la figure a un centre de symétrie : un rectangle de 6 cm sur 4 cm ; un carré ; un losange qui n'est pas un carré ; un triangle équilatéral ; un cercle. Justifiez pour le rectangle.
Afficher le corrigéMasquer le corrigé
Le rectangle (6 cm sur 4 cm). Les deux droites qui joignent les milieux des côtés opposés sont des axes de symétrie : chacune est la médiatrice de deux côtés opposés. Les diagonales ne sont pas des axes, car le rectangle n'est pas un carré : le symétrique d'un sommet par rapport à une diagonale ne serait pas un sommet. Il a donc 2 axes. Son centre de symétrie est le point d'intersection des diagonales, milieu de chacune d'elles.
Le carré. 4 axes (2 médiatrices des côtés et 2 diagonales) ; un centre de symétrie, l'intersection des diagonales.
Le losange non carré. 2 axes (ses diagonales) ; un centre de symétrie, l'intersection des diagonales.
Le triangle équilatéral. 3 axes (les trois hauteurs, qui sont aussi médiatrices) ; pas de centre de symétrie.
Le cercle. Une infinité d'axes (tout diamètre) ; un centre de symétrie, son centre.
Conclusion. Rectangle : 2 axes et un centre. Carré : 4 axes et un centre. Losange : 2 axes et un centre. Triangle équilatéral : 3 axes, aucun centre. Cercle : une infinité d'axes et un centre.
Exercice 4 — Justifier avec un demi-tour
ABCD est un parallélogramme. Ses diagonales [AC] et [BD] se coupent en O. On considère le demi-tour de centre O.
- Quel est le symétrique du point A ? Du point B ?
- Déduisez-en l'image du segment [AB], puis comparez les longueurs AB et CD.
- Que peut-on dire des droites (AB) et (CD) ?
Afficher le corrigéMasquer le corrigé
1. Les images. Les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leur milieu. O est le milieu de [AC] : le symétrique de A par le demi-tour de centre O est donc C. O est aussi le milieu de [BD] : le symétrique de B est D.
2. Les longueurs. L'image du segment [AB] est le segment [CD]. Un demi-tour conserve les longueurs, donc CD = AB.
3. Les droites. L'image d'une droite par un demi-tour est une droite qui lui est parallèle. L'image de la droite (AB) est la droite (CD), donc (AB) est parallèle à (CD).
Conclusion. Dans un parallélogramme, les côtés opposés [AB] et [CD] ont la même longueur et portent des droites parallèles. On établit ces deux propriétés en utilisant seulement les propriétés du demi-tour de centre O.
Exercice 5 — Conservation et construction (format de l'épreuve)
Le triangle ABC est rectangle en B, avec AB = 3 cm, BC = 4 cm et AC = 5 cm. La droite (d) ne coupe pas ce triangle ; le point A est à 3,5 cm de (d). On note A'B'C' le symétrique de ABC par rapport à (d).
- Donnez A'B', B'C', A'C', la mesure de l'angle A'B'C' et l'aire de A'B'C'. Justifiez.
- Quelle est la distance entre A et A' ?
- On note M le milieu de [AB]. Où se trouve l'image M' de M ? Que vaut A'M' ?
- Quel est le périmètre de A'B'C' ?
Afficher le corrigéMasquer le corrigé
1. Conservation. Une symétrie axiale conserve les longueurs, les angles et les aires. Donc A'B' = AB = 3 cm, B'C' = BC = 4 cm, A'C' = AC = 5 cm et l'angle A'B'C' est droit. L'aire de ABC est (3 × 4) ÷ 2 = 6 cm² ; l'aire de A'B'C' est donc aussi 6 cm².
2. Distance AA'. La droite (d) est la médiatrice de [AA'] : elle coupe [AA'] en son milieu, perpendiculairement. Le point A est à 3,5 cm de (d), donc A' aussi, de l'autre côté : AA' = 2 × 3,5 = 7 cm.
3. Le milieu. Une symétrie conserve le milieu : M' est le milieu de [A'B']. On a donc A'M' = 3 ÷ 2 = 1,5 cm.
4. Périmètre. Le périmètre de ABC est 3 + 4 + 5 = 12 cm. Les trois côtés étant conservés, celui de A'B'C' est aussi 12 cm.
Conclusion. A'B' = 3 cm, B'C' = 4 cm, A'C' = 5 cm, angle droit en B', aire 6 cm², AA' = 7 cm, M' milieu de [A'B'] avec A'M' = 1,5 cm et périmètre 12 cm. Barème indicatif : question 1 (2 points), 2 (1 point), 3 (1 point), 4 (1 point).