Ces exercices appliquent la fiche « Le théorème de Thalès et la droite des milieux » : ils n'introduisent aucune règle nouvelle. Cherchez d'abord seul, puis comparez avec le corrigé. Chaque corrigé vérifie le parallélisme, écrit les rapports dans l'ordre des points, puis conclut.
Exercice 1 — Droite des milieux
Le triangle PQR est tel que QR = 13 cm. Le point S est le milieu de [PQ] et le point T est le milieu de [PR].
- Justifiez que la droite (ST) est parallèle à la droite (QR).
- Calculez la longueur ST.
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Démarche. S et T sont les milieux de deux côtés du triangle PQR : on applique la droite des milieux relative au troisième côté [QR].
- Dans le triangle PQR, S est le milieu de [PQ] et T le milieu de [PR]. D'après le premier théorème de la droite des milieux, la droite (ST) est parallèle à (QR).
- D'après le second théorème, ST est égale à la moitié de QR : ST = 13 ÷ 2 = 6,5 cm.
Conclusion. La droite (ST) est parallèle à (QR), et ST = 6,5 cm.
Exercice 2 — Triangles emboîtés
Les points O, A et B sont alignés, A étant entre O et B. Les points O, C et D sont alignés, C étant entre O et D. Les droites (AC) et (BD) sont parallèles. On donne OA = 3 cm, OB = 5 cm et AC = 4,5 cm.
Calculez la longueur BD.
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Démarche. Les triangles OAC et OBD sont emboîtés de sommet commun O, avec (AC) parallèle à (BD). D'après le théorème de Thalès, OA/OB = OC/OD = AC/BD.
Le rapport utile est OA/OB = AC/BD, soit 3/5 = 4,5/BD. On en tire BD = 4,5 × 5 ÷ 3 = 7,5 cm.
Conclusion. La longueur BD est 7,5 cm.
Exercice 3 — Configuration du papillon
Les droites (AD) et (BC) se coupent en O, qui est situé entre A et D et entre B et C. Les droites (AB) et (CD) sont parallèles. On donne OA = 4 cm, OD = 6 cm, OB = 5 cm et AB = 6 cm.
- Calculez la longueur OC.
- Calculez la longueur DC.
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Démarche. Dans la configuration du papillon, AB/DC = OA/OD = OB/OC, les points étant alignés de part et d'autre de O.
- On utilise OA/OD = OB/OC, soit 4/6 = 5/OC. Donc OC = 5 × 6 ÷ 4 = 7,5 cm.
- On utilise OA/OD = AB/DC, soit 4/6 = 6/DC. Donc DC = 6 × 6 ÷ 4 = 9 cm.
Conclusion. OC = 7,5 cm et DC = 9 cm.
Exercice 4 — Contraposée : prouver que des droites ne sont pas parallèles
Les points O, A et B sont alignés, A étant entre O et B. Les points O, C et D sont alignés, C étant entre O et D. On donne OA = 3 cm, OB = 5 cm, OC = 4 cm et OD = 6 cm. Les droites (AC) et (BD) sont-elles parallèles ? Justifiez.
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Démarche. Si les droites (AC) et (BD) étaient parallèles, on aurait OA/OB = OC/OD. On compare donc les deux rapports.
OA/OB = 3/5 = 0,6 et OC/OD = 4/6 ≈ 0,67. Les rapports ne sont pas égaux.
D'après la contraposée du théorème de Thalès, les droites (AC) et (BD) ne sont pas parallèles.
Conclusion. Les droites (AC) et (BD) ne sont pas parallèles.