Ces exercices appliquent la fiche : ils n'introduisent aucune règle nouvelle. Les figures sont décrites en texte ; les repères sont orthogonaux, les coordonnées s'écrivent (x ; y). Le vecteur AB est noté « vecteur AB ». Cherchez d'abord seul, puis comparez avec le corrigé.
Exercice 1 — Images de points
Dans un repère orthogonal, la translation t transforme le point A(1 ; 2) en B(4 ; 6). Elle déplace donc chaque point de 3 unités vers la droite et de 4 unités vers le haut.
- Donner les coordonnées de l'image de M(0 ; 3) et de l'image de N(−2 ; −1) par t.
- Quel point a pour image P'(5 ; 5) par t ?
- Calculer la distance AB en unités, sachant que la longueur d'un déplacement de 3 vers la droite puis 4 vers le haut vaut 5 unités.
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On ajoute 3 à l'abscisse et 4 à l'ordonnée. Image de M(0 ; 3) : (0 + 3 ; 3 + 4) = (3 ; 7). Image de N(−2 ; −1) : (−2 + 3 ; −1 + 4) = (1 ; 3).
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On fait le déplacement inverse : on retranche 3 à l'abscisse et 4 à l'ordonnée. Le point cherché est (5 − 3 ; 5 − 4) = (2 ; 1). Contrôle : (2 + 3 ; 1 + 4) = (5 ; 5).
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Le segment [AB] est la trajectoire de A à B ; sa longueur est celle du déplacement : AB = 5 unités. Tout point et son image sont donc à la distance 5 : MM' = 5 unités pour tout point M.
Barème indicatif : 2 points + 2 points + 1 point, soit 5 points.
Exercice 2 — Propriétés de conservation
Le triangle ABC est rectangle en B, avec AB = 5 cm, BC = 12 cm et AC = 13 cm. On considère son image A'B'C' par la translation qui transforme A en D, avec AD = 7 cm.
- Donner les longueurs A'B', B'C' et A'C'.
- Quelle est la nature du triangle A'B'C' ? Justifier.
- Calculer l'aire de ABC, puis celle de A'B'C'.
- Que peut-on dire des droites (AB) et (A'B') ? Que valent BB' et CC' ?
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Une translation conserve les longueurs : A'B' = AB = 5 cm, B'C' = BC = 12 cm et A'C' = AC = 13 cm.
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Une translation conserve les angles. L'angle en B est droit, donc l'angle en B' est droit : A'B'C' est rectangle en B'.
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Aire de ABC = 5 × 12 ÷ 2 = 30 cm². Une translation conserve les aires : l'aire de A'B'C' est aussi 30 cm².
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L'image d'une droite par une translation est une droite parallèle : (A'B') est parallèle à (AB). Chaque point est déplacé de la même longueur : BB' = CC' = AA' = 7 cm, et les segments [AA'], [BB'], [CC'] sont parallèles.
Barème indicatif : 1 point + 2 points + 2 points + 2 points, soit 7 points.
Exercice 3 — Parallélogramme et vecteurs égaux
ABCD est un parallélogramme avec AB = 7 cm et AD = 4 cm.
- Quel est le point image de D par la translation qui transforme A en B ? Justifier.
- Citer deux vecteurs égaux au vecteur AB, puis un vecteur égal au vecteur AD.
- Quel est l'opposé du vecteur AB ?
- Quelle est la longueur DC ? Quelle est la longueur BC ?
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ABCD est un parallélogramme : [AB] et [DC] sont parallèles, de même longueur et de même sens. La translation qui transforme A en B transforme donc D en C. L'image de D est C.
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Le vecteur AB est égal au vecteur DC, car ABCD est un parallélogramme. Il est aussi égal au vecteur qui joint un point M quelconque à son image M' par la translation qui transforme A en B, puisque c'est le même vecteur. Le vecteur AD est égal au vecteur BC.
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L'opposé du vecteur AB est le vecteur BA (même direction, même longueur, sens contraire). Il est aussi égal au vecteur CD.
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Les côtés opposés d'un parallélogramme ont la même longueur : DC = AB = 7 cm et BC = AD = 4 cm.
Barème indicatif : 2 points + 2 points + 1 point + 1 point, soit 6 points.
Exercice 4 — Relation de Chasles
A, B, C et D sont quatre points quelconques. Simplifier chaque somme en un seul vecteur.
- vecteur AB + vecteur BC + vecteur CD
- vecteur AB + vecteur BA
- vecteur DA + vecteur AB
- ABCD est un parallélogramme : exprimer le vecteur AB + vecteur AD à l'aide de la diagonale [AC]. Justifier.
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Par la relation de Chasles : vecteur AB + vecteur BC = vecteur AC, puis vecteur AC + vecteur CD = vecteur AD. La somme est le vecteur AD.
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Le vecteur BA est l'opposé du vecteur AB. La translation qui transforme A en B suivie de celle qui transforme B en A ramène chaque point à sa position de départ : la somme est le vecteur nul.
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Par la relation de Chasles : vecteur DA + vecteur AB = vecteur DB.
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ABCD est un parallélogramme, donc vecteur AD = vecteur BC. Alors vecteur AB + vecteur AD = vecteur AB + vecteur BC = vecteur AC, d'après la relation de Chasles. La somme est portée par la diagonale [AC].
Barème indicatif : 1 point + 1 point + 1 point + 3 points, soit 6 points.
Exercice 5 — Un pavage par translations
Un motif est un parallélogramme ABCD tel que AB = 6 cm, AD = 4 cm, avec une hauteur de 3 cm perpendiculaire à (AB). On le translate quatre fois de suite avec la translation qui transforme A en B : on obtient cinq parallélogrammes identiques, juxtaposés le long de la direction (AB).
- Quelle est l'aire d'un motif ? Quelle est l'aire de l'ensemble des cinq motifs ? Justifier.
- Quelle est la longueur du côté de l'ensemble, dans la direction (AB) ?
- L'ensemble forme un grand parallélogramme. Quel est son périmètre ?
- Peut-on obtenir l'ensemble par une seule translation du motif ? Justifier.
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Aire d'un motif = base × hauteur = 6 × 3 = 18 cm². Une translation conserve les aires et les motifs ne se chevauchent pas : l'aire de l'ensemble est 5 × 18 = 90 cm².
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Chaque translation déplace le motif de AB = 6 cm dans la direction (AB). Les cinq bases se suivent : 5 × 6 = 30 cm.
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Le grand parallélogramme a pour côtés 30 cm et 4 cm (le côté oblique n'a pas changé). Périmètre = 2 × (30 + 4) = 68 cm. Contrôle de l'aire : 30 × 3 = 90 cm².
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Non. Une seule translation donne une figure de même aire que le motif (18 cm²), alors que l'ensemble a une aire de 90 cm². L'ensemble est la réunion de cinq images du motif, non une seule image.
Barème indicatif : 3 points + 1 point + 2 points + 1 point, soit 7 points.