Ces exercices appliquent la fiche : ils n'introduisent aucune règle nouvelle. Les figures sont décrites en texte. Cherchez d'abord seul, puis comparez avec le corrigé.
Exercice 1 — Angles d'un triangle
- Le triangle ABC est isocèle de sommet principal A, et l'angle en A mesure 52°. Calculer les deux autres angles.
- Un triangle DEF a deux angles qui mesurent 47° et 83°. Calculer le troisième angle. Le triangle est-il isocèle ?
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La somme des angles d'un triangle est 180°. Il reste 180 − 52 = 128° pour les deux angles à la base. Dans un triangle isocèle, les angles à la base sont égaux, donc chacun vaut 128 ÷ 2 = 64°. Les angles en B et en C mesurent 64°.
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Le troisième angle mesure 180 − (47 + 83) = 180 − 130 = 50°. Les trois angles (47°, 83°, 50°) sont différents : le triangle n'a pas deux angles égaux, il n'est donc pas isocèle.
Barème indicatif : 3 points + 3 points, soit 6 points.
Exercice 2 — Un triangle existe-t-il ?
⚠️ Ancien programme (inégalité triangulaire). Pour chacun des triplets de longueurs (en centimètres), dire si l'on peut construire un triangle dont les côtés ont ces longueurs : (5 ; 7 ; 13), (6 ; 6 ; 11), (8 ; 9 ; 10), (2 ; 3 ; 6). Justifier.
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On compare la plus grande longueur à la somme des deux autres.
- (5 ; 7 ; 13) : 5 + 7 = 12 et 13 > 12. Aucun triangle.
- (6 ; 6 ; 11) : 6 + 6 = 12 et 11 < 12. Le triangle existe ; il est isocèle.
- (8 ; 9 ; 10) : 8 + 9 = 17 et 10 < 17. Le triangle existe.
- (2 ; 3 ; 6) : 2 + 3 = 5 et 6 > 5. Aucun triangle.
Barème indicatif : 1 point par triplet, soit 4 points.
Exercice 3 — Triangle rectangle et cercle circonscrit
Le triangle ABC est rectangle en A, avec AB = 6 cm, AC = 8 cm et BC = 10 cm. On note M le milieu de [BC].
- Quel est le centre du cercle circonscrit à ABC ? Quel est son rayon ?
- Quelle est la longueur AM ? Justifier.
- Calculer l'aire du triangle ABC.
- En déduire la hauteur issue de A dans le triangle ABC.
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Dans un triangle rectangle, le centre du cercle circonscrit est le milieu de l'hypoténuse. L'hypoténuse est [BC] : le centre est M et le rayon est MB = BC ÷ 2 = 5 cm.
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A est sur le cercle circonscrit, de centre M et de rayon 5 cm. Donc AM = 5 cm.
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On prend les côtés de l'angle droit comme base et hauteur : aire = 6 × 8 ÷ 2 = 24 cm².
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Avec la base BC = 10 cm, l'aire vaut BC × h ÷ 2, où h est la hauteur issue de A. Donc 10 × h ÷ 2 = 24, soit 5 × h = 24 et h = 24 ÷ 5 = 4,8 cm. Contrôle : 10 × 4,8 ÷ 2 = 24. La hauteur issue de A mesure 4,8 cm.
Barème indicatif : 2 points + 1 point + 1 point + 2 points, soit 6 points.
Exercice 4 — Une médiane partage l'aire
Dans le triangle ABC, on a BC = 12 cm et la hauteur issue de A mesure 7 cm. Le point M est le milieu de [BC].
- Calculer l'aire du triangle ABC.
- Calculer les aires des triangles ABM et AMC.
- Que constate-t-on ? Expliquer pourquoi cela ne dépend pas des dimensions choisies.
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Aire de ABC = 12 × 7 ÷ 2 = 42 cm².
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M est le milieu de [BC] : BM = MC = 6 cm. Les triangles ABM et AMC ont la même hauteur issue de A, qui vaut 7 cm. Aire de ABM = 6 × 7 ÷ 2 = 21 cm². Aire de AMC = 6 × 7 ÷ 2 = 21 cm².
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Les deux aires sont égales à 21 cm², soit la moitié de 42 cm². Pour toute longueur BC et toute hauteur h, les deux triangles ont des bases égales (la moitié de BC) et la même hauteur h : leurs aires valent chacune (BC ÷ 2) × h ÷ 2. La médiane [AM] partage donc le triangle en deux triangles de même aire.
Barème indicatif : 1 point + 2 points + 3 points, soit 6 points.
Exercice 5 — Un triangle inscrit dans un demi-cercle
Soit [AB] un segment de 13 cm. Le point C est un point du cercle de diamètre [AB], différent de A et de B.
- Quelle est la nature du triangle ABC ? Justifier.
- Où se trouve le centre O du cercle circonscrit à ABC ? Calculer OC.
- Un élève affirme : « Les médiatrices de [AC] et de [BC] se coupent au milieu de [AB]. » A-t-il raison ? Justifier.
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Le triangle ABC est inscrit dans un cercle dont un côté, [AB], est un diamètre. Le programme de quatrième caractérise ainsi un triangle rectangle : ABC est rectangle en C, d'hypoténuse [AB].
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Dans un triangle rectangle, le centre du cercle circonscrit est le milieu de l'hypoténuse : O est le milieu de [AB]. Le rayon est AB ÷ 2 = 13 ÷ 2 = 6,5 cm, donc OC = 6,5 cm.
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L'élève a raison. Les trois médiatrices d'un triangle se coupent au centre du cercle circonscrit. Pour ABC rectangle en C, ce centre est le milieu de [AB]. Les médiatrices de [AC] et de [BC] passent donc par ce point.
Barème indicatif : 2 points + 2 points + 2 points, soit 6 points.