Ces exercices appliquent la fiche « Angles, parallélisme et somme des angles d'un triangle » : ils n'introduisent aucune règle nouvelle. Cherchez d'abord seul, puis comparez avec le corrigé.
Exercice 1 — Angles supplémentaires et opposés par le sommet
- Un angle mesure 135°. Quelle est la mesure de son supplémentaire ? Quelle est la nature de ce supplémentaire ?
- Deux droites se coupent en un point O. L'un des quatre angles formés mesure 40°. Quelles sont les mesures des trois autres ?
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Démarche. Deux angles supplémentaires ont une somme de 180°. Deux angles opposés par le sommet ont la même mesure, et les angles adjacents sont supplémentaires.
- Le supplémentaire mesure 180° − 135° = 45°. Comme 45° est strictement compris entre 0° et 90°, c'est un angle aigu.
- L'angle opposé par le sommet mesure aussi 40°. Les deux autres angles sont adjacents à celui de 40° : ils sont supplémentaires de 40°, donc ils mesurent 180° − 40° = 140° chacun.
Conclusion. Le supplémentaire de 135° est un angle aigu de 45°. Dans le second cas, les quatre angles mesurent 40°, 140°, 40° et 140°.
Exercice 2 — Somme des angles d'un triangle
Dans le triangle ABC, l'angle BAC mesure 42° et l'angle ABC mesure 78°.
- Calculez la mesure de l'angle BCA.
- Un autre triangle DEF a deux angles de 45° en D et en E. Calculez l'angle en F et donnez la nature du triangle DEF.
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Démarche. La somme des angles d'un triangle vaut 180°. Le troisième angle se calcule en retranchant les deux autres à 180°.
- L'angle BCA mesure 180° − 42° − 78° = 60°.
- L'angle en F mesure 180° − 45° − 45° = 90°. Le triangle DEF a un angle droit : c'est un triangle rectangle, en F.
Conclusion. L'angle BCA mesure 60°. Le triangle DEF est rectangle en F.
Exercice 3 — Angles alternes-internes et parallélisme
Les droites (d) et (d') sont parallèles. La sécante (s) coupe (d) en A et (d') en B. Le point C est sur (d), à gauche de A. Le point D est sur (d'), à droite de B. On donne l'angle CAB = 71°.
- Quelle est la nature de l'angle ABD par rapport à l'angle CAB ? Calculez sa mesure et justifiez.
- Le point F est sur (d), à droite de A. Calculez la mesure de l'angle FAB.
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Démarche. Les angles CAB et ABD sont de part et d'autre de la sécante (s), à l'intérieur de la bande formée par (d) et (d') : ils sont alternes-internes. Comme (d) et (d') sont parallèles, ils ont la même mesure. Les angles FAB et CAB sont adjacents et forment un angle plat.
- Les angles ABD et CAB sont alternes-internes. Comme les droites sont parallèles, les angles alternes-internes sont égaux : ABD = 71°.
- Les demi-droites [AC) et [AF) sont opposées, donc l'angle CAF est plat. L'angle FAB est supplémentaire de CAB : FAB = 180° − 71° = 109°.
Conclusion. L'angle ABD mesure 71°, et l'angle FAB mesure 109°.
Exercice 4 — Prouver que deux droites sont parallèles
Les droites (xy) et (zt) sont coupées par la sécante (s) en M (sur (xy)) et en N (sur (zt)). Le point x est sur (xy), à gauche de M. Le point z est sur (zt), à droite de N. Les points x et z sont de part et d'autre de (s), à l'intérieur de la bande formée par les deux droites. On donne l'angle xMN = 56° et l'angle MNz = 56°.
Les droites (xy) et (zt) sont-elles parallèles ? Justifiez.
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Démarche. Les angles xMN et MNz sont de part et d'autre de la sécante, à l'intérieur de la bande : ils sont alternes-internes. Pour prouver le parallélisme, on compare leurs mesures.
Les angles alternes-internes xMN et MNz ont la même mesure, 56°. D'après la réciproque de la propriété sur les angles alternes-internes, les droites (xy) et (zt) sont parallèles.
Conclusion. Les droites (xy) et (zt) sont parallèles.
Exercice 5 — Démontrer la somme des angles d'un triangle
Démontrez que, dans tout triangle ABC, la somme des angles BAC, ABC et BCA vaut 180°. Votre rédaction doit indiquer la construction auxiliaire, les angles utilisés et la propriété qui justifie chaque égalité.
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Démarche. On trace une parallèle au côté opposé passant par A, puis on utilise les angles alternes-internes.
- Soit (d) la parallèle à (BC) passant par A. Sur (d), notons [Ax) la demi-droite située du côté de B et [Ay) la demi-droite située du côté de C. Les demi-droites [Ax) et [Ay) sont opposées, donc l'angle xAy est plat.
- Les droites (d) et (BC) sont coupées par la sécante (AB). Les angles xAB et ABC sont alternes-internes : ils sont de part et d'autre de (AB), à l'intérieur de la bande formée par (d) et (BC). Comme (d) est parallèle à (BC), ils sont égaux : xAB = ABC.
- De même, les droites (d) et (BC) sont coupées par la sécante (AC). Les angles CAy et BCA sont alternes-internes : CAy = BCA.
- L'angle plat xAy est partagé en trois angles consécutifs : xAB, BAC et CAy. Donc xAy = xAB + BAC + CAy, soit 180° = ABC + BAC + BCA.
Conclusion. La somme des angles d'un triangle vaut 180°.