Ce que le jury attend
La partie mathématiques de la première épreuve écrite comprend « plusieurs exercices ou problèmes » et évalue la connaissance des notions du programme, leur mobilisation et l'expression écrite (arrêté du 17 avril 2025, art. 18, A, 1°). Les aires et les périmètres servent à résoudre des problèmes de figures composées et de conversions. Un candidat doit donc connaître les formules des figures usuelles, distinguer aire et périmètre, et écrire le calcul avec ses unités.
Ce que dit le programme
Au cycle 4, le programme demande de calculer l'aire d'un triangle (cinquième, « Triangles ») et l'aire d'un parallélogramme ainsi que celle de figures complexes (cinquième, « Parallélogrammes »). Il demande aussi de résoudre des problèmes qui font appel à des conversions d'unités de longueur et d'unités d'aire, et de calculer l'aire du disque (cinquième). En quatrième, il demande de savoir calculer l'aire des figures planes usuelles : triangle, rectangle, disque.
Le programme propose de travailler en fil rouge des preuves utilisant les aires, pour identifier des invariants et démontrer des propriétés vraies dans tous les triangles (« Espace et géométrie », introduction).
Au cycle 3, l'élève sait déterminer l'aire d'un carré ou d'un rectangle, et sait convertir des aires. En sixième, il calcule le périmètre d'un disque et effectue des conversions d'unités d'aire.
Périmètre et aire : deux grandeurs différentes
Le périmètre est la longueur du contour d'une figure ; il se mesure en unités de longueur (cm, m). L'aire est la mesure de la surface ; elle se mesure en unités d'aire (cm², m²).
Aire. L'aire d'une figure est la mesure de la surface qu'elle recouvre, exprimée en unités carrées : le centimètre carré (cm²), le décimètre carré (dm²), le mètre carré (m²).
Deux figures de même périmètre peuvent avoir des aires différentes.
Exemple original
Un rectangle de 6 cm sur 2 cm et un carré de 4 cm de côté ont tous les deux un périmètre de 16 cm : 2 × (6 + 2) = 16 et 4 × 4 = 16. Pourtant, l'aire du rectangle est 6 × 2 = 12 cm², et celle du carré est 4 × 4 = 16 cm². Le périmètre ne donne pas l'aire.
Formules des figures usuelles
| Figure | Aire | Périmètre |
|---|---|---|
| Carré de côté c | c × c | 4 × c |
| Rectangle de longueur L et de largeur l | L × l | 2 × (L + l) |
| Triangle de base b et de hauteur h relative à cette base | (b × h) ÷ 2 | somme des trois côtés |
| Parallélogramme de base b et de hauteur h relative à cette base | b × h | somme des côtés |
| Disque de rayon r | π × r² | 2 × π × r |
Le programme demande de savoir calculer ces aires et ces périmètres ; il n'énonce pas les formules, qui sont données ici comme connaissances de référence.
Dans un triangle comme dans un parallélogramme, la hauteur est la distance entre le sommet et la droite qui porte la base, mesurée perpendiculairement. Dans un triangle, la hauteur peut être à l'extérieur de la figure lorsque l'angle à la base est obtus.
Erreur fréquente. Oublier la division par 2 pour l'aire d'un triangle, ou prendre un côté quelconque comme hauteur. La hauteur doit être perpendiculaire à la base choisie.
Exemple original : triangle et parallélogramme
Un triangle a une base de 6 cm et une hauteur de 5 cm relative à cette base. Son aire est (6 × 5) ÷ 2 = 15 cm².
Un parallélogramme a une base de 8 cm et une hauteur de 3 cm relative à cette base. Son aire est 8 × 3 = 24 cm².
Le disque
Le périmètre d'un disque est 2 × π × r, où r est le rayon. L'aire d'un disque est π × r².
Un disque a un rayon de 3 cm. Son aire est π × 3² = 9π, soit environ 28,27 cm² (valeur arrondie au centième). Son périmètre est 2 × π × 3 = 6π, soit environ 18,85 cm.
Erreur fréquente. Prendre le diamètre à la place du rayon. Si l'énoncé donne le diamètre, on le divise par 2 avant d'appliquer une formule.
Figures composées
Une figure composée se décompose en figures usuelles, ou s'obtient en retirant une figure à une figure plus grande. La méthode est la même pour l'aire et le périmètre : on identifie les côtés, puis on calcule.
Exemple original
Un rectangle de 10 cm sur 6 cm a un triangle retiré dans un coin. Ce triangle a une base de 4 cm et une hauteur de 6 cm. L'aire du rectangle est 10 × 6 = 60 cm². L'aire du triangle retiré est (4 × 6) ÷ 2 = 12 cm². L'aire de la figure restante est 60 − 12 = 48 cm².
Conversions d'unités d'aire
Une unité d'aire se convertit comme une surface : chaque changement d'unité de longueur se traduit par un facteur 10 pour le côté et par un facteur 100 pour l'aire.
- 1 m² = 100 dm² ; 1 dm² = 100 cm² (cycle 3, sixième).
- 1 cm² = 0,01 dm² ; 1 dm² = 0,01 m².
- 1 m = 10 dm donc 1 m² = 10 × 10 dm² = 100 dm².
- Pour passer des dm² aux cm², on multiplie par 100 (1 dm² = 100 cm²).
- Pour passer des cm² aux dm², on divise par 100.
- Une conversion de longueur ne donne pas la même conversion pour l'aire : 1 dm = 10 cm, mais 1 dm² = 100 cm².
Exemple original
Une plaque a une aire de 2,5 dm². Son aire vaut 2,5 × 100 = 250 cm².
Erreur fréquente. Écrire 1 dm² = 10 cm². Le facteur 10 est celui des longueurs ; il faut le mettre au carré pour les aires.
Méthode de rédaction
- Identifier la figure et les longueurs données, avec leurs unités.
- Convertir les longueurs dans la même unité.
- Choisir la formule : aire ou périmètre, selon la question.
- Calculer, en précisant si le résultat est une valeur exacte ou approchée.
- Écrire le résultat avec son unité (cm, cm²) et conclure.
Pour aller plus loin
Les formules d'aire sont à la base des volumes : le volume d'un prisme ou d'un cylindre s'obtient à partir de l'aire de sa base (voir la fiche sur les volumes). Le théorème de Pythagore permet de calculer une hauteur ou une longueur manquante avant de calculer une aire (voir la fiche sur le théorème de Pythagore). Les conversions d'unités s'appuient aussi sur la notion de proportionnalité, car on multiplie toujours par le même facteur.
- Le périmètre est une longueur ; l'aire est une surface, exprimée en unités carrées.
- Aire du triangle : (base × hauteur) ÷ 2 ; aire du parallélogramme : base × hauteur ; aire du disque : π × r².
- Périmètre du disque : 2 × π × r.
- 1 dm² = 100 cm² : une conversion d'aire utilise le carré du facteur de longueur.