Ce que le jury attend
La partie mathématiques de la première épreuve écrite comprend « plusieurs exercices ou problèmes » et évalue la connaissance des notions du programme, leur mobilisation et la qualité de l'expression écrite (arrêté du 17 avril 2025, art. 18, A, 1°). Le volume apparaît dans des problèmes qui mêlent longueurs, unités et conversions. Le candidat doit donc connaître les formules usuelles des solides, écrire le calcul avec ses unités et répondre par une phrase de conclusion.
Ce que dit le programme
Le programme demande de calculer le volume du cube, du pavé droit et du prisme droit, de connaître et de convertir les unités usuelles de volume et de capacité, puis de calculer le volume du cylindre de révolution, dès la classe de cinquième (« Représentation de l'espace », cinquième). En quatrième, il demande de connaître et d'utiliser les formules du volume du cube, du pavé, du prisme et du cylindre, puis le volume de la pyramide et du cône de révolution. En troisième, il demande d'utiliser la formule du volume d'une pyramide ou d'un cône, puis celle de la boule de rayon donné.
Au cycle 3, l'élève découvre l'unité cm³ et détermine des volumes à partir du dénombrement de cubes dans un assemblage (cycle 3, sixième).
Les unités de volume
Un volume se mesure en unités cubes. L'unité de base est le mètre cube (m³). Les sous-multiples utilisés au collège sont le décimètre cube (dm³) et le centimètre cube (cm³).
- 1 dm³ = 10 cm × 10 cm × 10 cm = 1 000 cm³.
- 1 m³ = 10 dm × 10 dm × 10 dm = 1 000 dm³.
- Un changement d'unité de longueur se traduit par une puissance de dix au cube : 1 cm = 10 mm, donc 1 cm³ = 1 000 mm³.
Volume et capacité
La capacité d'un récipient est le volume de liquide qu'il peut contenir. Les unités de capacité sont le litre (L), le centilitre (cL) et le millilitre (mL).
Litre. Dans ce hub, le litre est défini comme le volume d'un cube de 1 dm d'arête. Par conséquent, 1 L = 1 dm³, et 1 mL = 1 cm³.
Cette équivalence est une définition employée pour les calculs ; elle n'est pas démontrée dans la fiche. Une conversion se fait donc en deux temps : on passe de l'unité de capacité à l'unité de volume, puis on convertit l'unité de volume.
Exemple original
Une cuve contient 3,5 L d'eau. Quel est son volume en cm³ ?
Comme 1 L = 1 dm³ et 1 dm³ = 1 000 cm³, on calcule : 3,5 × 1 000 = 3 500. La cuve contient donc un volume de 3 500 cm³.
Formules des solides
| Solide | Volume | Niveau où le programme les demande |
|---|---|---|
| Cube d'arête a | a × a × a = a³ | cinquième |
| Pavé droit de dimensions L, l et h | L × l × h | cinquième |
| Prisme droit | aire de la base × hauteur | cinquième |
| Cylindre de révolution de rayon r et de hauteur h | π × r² × h | cinquième |
| Pyramide | (aire de la base × hauteur) ÷ 3 | quatrième |
| Cône de révolution de rayon r et de hauteur h | (π × r² × h) ÷ 3 | quatrième |
| Boule de rayon r | (4 × π × r³) ÷ 3 | troisième |
Le programme demande de calculer ou de connaître ces volumes ; il n'énonce pas les formules, qui sont données ici comme connaissances de référence.
Les formules de la pyramide et du cône se retrouvent avec un tiers du produit de la base par la hauteur. Pour la boule, la formule utilise le rayon, non le diamètre.
Erreur fréquente. Remplacer le rayon par le diamètre dans les formules du cylindre, du cône et de la boule. Si le diamètre est donné, on le divise par 2 avant de calculer.
Exemple original : pavé et cylindre
Un pavé droit mesure 6 cm de long, 4 cm de large et 2,5 cm de haut. Son volume est 6 × 4 × 2,5 = 60 cm³.
Un cylindre de révolution a un diamètre de 4 cm et une hauteur de 5 cm. Son rayon est 4 ÷ 2 = 2 cm. Son volume vaut π × 2² × 5 = 20π, soit environ 62,83 cm³ (valeur arrondie au centième).
Pyramide, cône et boule
Exemple original : cône et boule
Un cône de révolution a un rayon de 3 cm et une hauteur de 4 cm. Son volume est π × 3² × 4 ÷ 3 = 12π, soit environ 37,70 cm³.
Une boule a un rayon de 3 cm. Son volume est 4 × π × 3³ ÷ 3 = 36π, soit environ 113,10 cm³.
Une pyramide à base carrée de 6 cm de côté et de 4 cm de hauteur a pour volume (6 × 6 × 4) ÷ 3 = 48 cm³. L'aire de la base est calculée d'abord, puis multipliée par la hauteur, puis divisée par 3.
Problèmes et conversions
Un problème de volume suit la même méthode que les autres problèmes de mesure :
- identifier le solide et les données, avec leurs unités ;
- convertir toutes les longueurs dans la même unité avant de calculer ;
- appliquer la formule du solide ;
- écrire le résultat avec son unité (cm³, dm³, m³) ;
- convertir le résultat dans l'unité demandée (cm³ vers L, par exemple) et conclure.
Un réservoir cubique a une arête de 20 cm. Quelle est sa capacité en litres ?
- Le volume est 20 × 20 × 20 = 8 000 cm³.
- Comme 1 L = 1 000 cm³, la capacité est 8 000 ÷ 1 000 = 8 L.
- Le réservoir peut contenir 8 L.
Le calcul ne mélange pas les unités : on ne multiplie pas une longueur en centimètres par une longueur en mètres sans conversion.
Erreurs fréquentes
Erreur fréquente. Écrire cm au lieu de cm³ pour un volume, ou cm² pour un volume. Une aire se mesure en cm², un volume en cm³.
- Oublier de convertir avant de calculer : une arête de 2 dm et une hauteur de 15 cm ne se multiplient pas directement.
- Confondre 1 dm³ et 1 dm : 1 dm³ vaut 1 000 cm³, pas 10 cm³.
- Appliquer la formule du cône à la pyramide sans tenir compte de la base. La formule du tiers est la même, mais la base dépend du solide.
Pour aller plus loin
Le volume et l'aire se travaillent ensemble : les formules du prisme et du cylindre utilisent l'aire de la base (voir la fiche sur les aires et les périmètres). Les conversions d'unités sont aussi un cas de proportionnalité : passer des cm³ aux dm³ revient à diviser par un même nombre (voir la fiche sur la proportionnalité).
- Un volume se mesure en cm³, dm³ ou m³ ; une capacité en L, cL ou mL.
- Dans ce hub, 1 L = 1 dm³ = 1 000 cm³ (définition employée pour les calculs).
- Volume du pavé : L × l × h ; volume du prisme et du cylindre : aire de la base × hauteur.
- Volume de la pyramide et du cône : (aire de la base × hauteur) ÷ 3 ; volume de la boule : (4 × π × r³) ÷ 3.
- Toutes les longueurs sont converties dans la même unité avant le calcul.