Ces exercices appliquent la fiche « Volumes et unités de volume et de contenance » : ils n'introduisent aucune règle nouvelle. Cherchez d'abord seul, puis comparez avec le corrigé. Chaque corrigé donne la démarche, le calcul avec les unités, puis la phrase de conclusion.
Exercice 1 — Pavé droit et conversions
Une boîte a la forme d'un pavé droit. Elle mesure 2 dm de long, 15 cm de large et 1 dm de haut.
- Calculez le volume de la boîte en cm³.
- Donnez ce volume en dm³, puis la capacité de la boîte en litres.
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Démarche. Toutes les longueurs doivent être dans la même unité avant le calcul. On convertit donc les décimètres en centimètres : 2 dm = 20 cm et 1 dm = 10 cm.
- Le volume est L × l × h = 20 × 15 × 10 = 3 000. La boîte a un volume de 3 000 cm³.
- Comme 1 dm³ = 1 000 cm³, on calcule 3 000 ÷ 1 000 = 3. Le volume est de 3 dm³. Comme 1 L = 1 dm³, la capacité est de 3 L.
Conclusion. La boîte a un volume de 3 000 cm³, soit 3 dm³, et une capacité de 3 L.
Exercice 2 — Cylindre et capacité
Une bouteille a la forme d'un cylindre de révolution. Son rayon intérieur est de 4 cm et sa hauteur intérieure de 20 cm.
- Calculez le volume intérieur de la bouteille, en cm³, en donnant la valeur exacte puis une valeur arrondie au dixième.
- Donnez la capacité de la bouteille en litres, arrondie au centième.
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Démarche. Le volume d'un cylindre de révolution est π × r² × h. Le rayon est donné, il n'est pas nécessaire de le calculer.
- V = π × 4² × 20 = π × 16 × 20 = 320π cm³. Avec π ≈ 3,14159, on trouve 320π ≈ 1 005,3 cm³ (arrondi au dixième).
- Comme 1 cm³ = 1 mL, la capacité est d'environ 1 005 mL, soit 1,0053 L ; arrondie au centième, elle vaut 1,01 L.
Conclusion. La valeur exacte du volume est 320π cm³, soit environ 1 005,3 cm³ ; la bouteille a une capacité d'environ 1,01 L.
Exercice 3 — Cône et pyramide de même hauteur
Un cône de révolution a une hauteur de 9 cm et une base de diamètre 8 cm. Une pyramide a pour base un carré de côté 4 cm et pour hauteur 9 cm.
- Calculez le volume du cône, en cm³, en donnant la valeur exacte puis une valeur arrondie au centième.
- Calculez le volume de la pyramide, en cm³.
- Le volume du cône est-il exactement trois fois celui de la pyramide ? Justifiez.
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Démarche. Pour le cône, le rayon vaut 8 ÷ 2 = 4 cm. Pour la pyramide, on calcule l'aire de la base puis on applique le tiers du produit par la hauteur.
- V(cône) = (π × 4² × 9) ÷ 3 = (144π) ÷ 3 = 48π cm³. Avec π ≈ 3,14159, on trouve 48π ≈ 150,80 cm³.
- L'aire de la base carrée est 4 × 4 = 16 cm². V(pyramide) = (16 × 9) ÷ 3 = 144 ÷ 3 = 48 cm³.
- Le rapport exact est 48π ÷ 48 = π. Le volume du cône n'est donc pas exactement trois fois celui de la pyramide : il en est π fois, soit environ 3,14 fois.
Conclusion. Le cône a un volume de 48π cm³, soit environ 150,80 cm³ ; la pyramide a un volume de 48 cm³. Le volume du cône est environ 3,14 fois celui de la pyramide : il n'est pas exactement égal à trois fois ce volume.
Exercice 4 — Boule et changement d'échelle
Une boule a pour rayon 5 cm. Une autre boule a pour rayon 10 cm.
- Calculez le volume de chaque boule, en cm³, en donnant la valeur exacte puis une valeur arrondie au dixième.
- Le volume de la grande boule est-il le double de celui de la petite ? Justifiez.
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Démarche. Le volume de la boule de rayon r est (4 × π × r³) ÷ 3.
- Petite boule : (4 × π × 5³) ÷ 3 = (500π) ÷ 3 cm³, soit environ 523,6 cm³. Grande boule : (4 × π × 10³) ÷ 3 = (4 000π) ÷ 3 cm³, soit environ 4 188,8 cm³.
- Le rayon est multiplié par 2, mais le volume est multiplié par 2³ = 8 : le volume de la grande boule est 4 000π ÷ 500π = 8 fois celui de la petite. Il n'est donc pas le double.
Conclusion. Les volumes sont d'environ 523,6 cm³ et 4 188,8 cm³. Quand le rayon est doublé, le volume est multiplié par 8.