Ce que le jury attend
La partie mathématiques de la première épreuve écrite comprend « plusieurs exercices ou problèmes » et évalue la connaissance des notions du programme, leur mobilisation et l'expression écrite (arrêté du 17 avril 2025, art. 18, A, 1°). Le théorème de Pythagore sert à calculer des longueurs et à justifier qu'un triangle est rectangle. Un candidat doit donc savoir dans quel sens utiliser l'énoncé, citer la propriété employée et rédiger la conclusion.
Ce que dit le programme
En quatrième, le programme demande de connaître le théorème de Pythagore, sa réciproque et sa contraposée, et de mener un travail de logique sur la réciproque et la contraposée (« Triangles », quatrième). Il demande aussi de caractériser un triangle rectangle à l'aide de son cercle circonscrit, de déterminer le centre de ce cercle, et de construire des rectangles sans équerre.
En troisième, l'élève écrit l'égalité de Pythagore dans un triangle rectangle et utilise la propriété du triangle rectangle et de son cercle circonscrit (« Triangles », troisième, automatismes).
Le théorème
Théorème de Pythagore. Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. L'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit.
Si le triangle ABC est rectangle en B, l'hypoténuse est [AC] et l'égalité s'écrit : AC² = AB² + BC².
Exemple original : calcul de l'hypoténuse
Un triangle ABC est rectangle en B, avec AB = 6 cm et BC = 8 cm. On calcule AC² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100. Comme AC est positive, AC = √100 = 10 cm.
Pour calculer un côté de l'angle droit, on soustrait : si l'hypoténuse mesure 13 cm et un côté de l'angle droit 5 cm, l'autre côté vérifie 13² − 5² = 169 − 25 = 144, donc il mesure √144 = 12 cm.
Erreur fréquente. Oublier de prendre la racine carrée à la fin, ou additionner les carrés au lieu de les soustraire quand on cherche un côté de l'angle droit. L'hypoténuse est toujours le côté le plus long du triangle rectangle.
La réciproque
Réciproque. La réciproque d'une propriété « si P alors Q » est « si Q alors P ». La réciproque d'une propriété vraie n'est pas forcément vraie.
La réciproque du théorème de Pythagore est la suivante : si, dans un triangle, le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors le triangle est rectangle.
Exemple original
Un triangle a pour côtés 5 cm, 12 cm et 13 cm. Le plus grand côté est 13 cm. On compare 13² = 169 et 5² + 12² = 25 + 144 = 169. Les deux nombres sont égaux, donc le triangle est rectangle. L'angle droit est opposé au côté de 13 cm.
Cette méthode permet de construire un rectangle sans équerre : on trace des segments de longueurs 3 cm, 4 cm et 5 cm, dont le carré du côté le plus long est égal à la somme des carrés des deux autres (25 = 9 + 16). La construction donne donc un triangle rectangle.
La contraposée
Contraposée. La contraposée de « si P alors Q » est « si non Q alors non P ». Si une propriété est vraie, sa contraposée est vraie aussi.
La contraposée du théorème de Pythagore s'énonce : si, dans un triangle, le carré du plus grand côté n'est pas égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors le triangle n'est pas rectangle.
- Théorème : triangle rectangle ⟹ égalité des carrés.
- Réciproque : égalité des carrés ⟹ triangle rectangle.
- Contraposée : égalité des carrés non vérifiée ⟹ triangle non rectangle.
- La réciproque doit être démontrée séparément ; la contraposée, elle, découle directement du théorème.
Exemple original : un triangle qui n'est pas rectangle
Un triangle a pour côtés 4 cm, 5 cm et 6 cm. Le plus grand côté est 6 cm. On compare 6² = 36 et 4² + 5² = 16 + 25 = 41. Les deux nombres sont différents : le triangle n'est pas rectangle.
Erreur fréquente. Comparer le carré d'un côté quelconque, et non celui du plus grand côté, avec la somme des carrés des deux autres. Le test se fait toujours sur le plus grand côté, sans quoi on peut conclure à tort qu'un triangle est rectangle.
Cercle circonscrit et triangle rectangle
Un triangle rectangle est inscrit dans un cercle dont le diamètre est son hypoténuse. Le centre de ce cercle est donc le milieu de l'hypoténuse. Réciproquement, un triangle inscrit dans un demi-cercle dont le diamètre est un de ses côtés est rectangle.
Dans le triangle ABC rectangle en B de l'exemple ci-dessus, [AC] mesure 10 cm. Le centre du cercle circonscrit est le milieu de [AC], à 5 cm de A et à 5 cm de C.
Méthode de rédaction
Un exercice sur ce théorème se rédige en trois temps : on énonce la propriété utilisée avec son nom, on pose le calcul, puis on conclut.
Pour calculer un côté : « Le triangle ABC est rectangle en B. D'après le théorème de Pythagore, AC² = AB² + BC², donc AC² = 100 et AC = 10 cm. »
Pour prouver qu'un triangle est rectangle : « Le plus grand côté est [AC] = 13 cm. On a AC² = 169 et AB² + BC² = 169. D'après la réciproque du théorème de Pythagore, ABC est rectangle en B. »
Pour prouver qu'un triangle n'est pas rectangle : « On a AC² = 36 et AB² + BC² = 41. Ces nombres sont différents. D'après la contraposée du théorème de Pythagore, ABC n'est pas rectangle. »
Erreurs fréquentes
- Appliquer le théorème à un triangle quelconque sans savoir qu'il est rectangle. Le théorème ne s'utilise qu'une fois l'angle droit établi.
- Confondre le théorème et sa réciproque : on part de l'angle droit pour le théorème, de l'égalité des carrés pour la réciproque.
- Oublier les unités : les longueurs sont en cm, les carrés en cm².
Pour aller plus loin
Le théorème de Pythagore sert aussi à calculer une longueur utile pour une aire. La droite des milieux et le théorème de Thalès utilisent un raisonnement voisin, fondé sur des rapports de longueurs ; la proportionnalité en donne la base de calcul.
- Théorème : dans un triangle rectangle, hypoténuse² = somme des carrés des deux autres côtés.
- Réciproque : si le carré du plus grand côté est égal à la somme des deux autres carrés, le triangle est rectangle.
- Contraposée : si ces carrés ne sont pas égaux, le triangle n'est pas rectangle.
- Le centre du cercle circonscrit à un triangle rectangle est le milieu de l'hypoténuse.