Ces exercices appliquent la fiche « Le théorème de Pythagore, sa réciproque et sa contraposée » : ils n'introduisent aucune règle nouvelle. Cherchez d'abord seul, puis comparez avec le corrigé. Chaque corrigé nomme la propriété utilisée, pose le calcul, puis conclut.
Exercice 1 — Calcul de l'hypoténuse
Le triangle DEF est rectangle en E. On donne DE = 9 cm et EF = 12 cm. Calculez la longueur DF.
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Démarche. Le triangle est rectangle en E, donc l'hypoténuse est [DF], opposée à l'angle droit. D'après le théorème de Pythagore, DF² = DE² + EF².
Calcul : DF² = 9² + 12² = 81 + 144 = 225. Comme DF est positive, DF = √225 = 15 cm.
Conclusion. La longueur DF est 15 cm.
Exercice 2 — Calcul d'un côté de l'angle droit
Le triangle GHI est rectangle en H. On donne GI = 17 cm et HI = 8 cm. Calculez la longueur GH.
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Démarche. L'hypoténuse est [GI]. D'après le théorème de Pythagore, GI² = GH² + HI², donc GH² = GI² − HI².
Calcul : GH² = 17² − 8² = 289 − 64 = 225. Donc GH = √225 = 15 cm.
Conclusion. La longueur GH est 15 cm.
Exercice 3 — Réciproque : prouver qu'un triangle est rectangle
Un triangle JKL a pour côtés JK = 20 cm, KL = 21 cm et JL = 29 cm. Ce triangle est-il rectangle ? Si oui, en quel sommet ?
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Démarche. Le plus grand côté est [JL], de 29 cm. On compare son carré à la somme des carrés des deux autres côtés.
Calcul : JL² = 29² = 841. JK² + KL² = 20² + 21² = 400 + 441 = 841. Les deux nombres sont égaux.
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle JKL est rectangle. L'angle droit est opposé au plus grand côté [JL], donc il est en K.
Conclusion. Le triangle JKL est rectangle en K.
Exercice 4 — Contraposée : prouver qu'un triangle n'est pas rectangle
Un triangle MNP a pour côtés MN = 5 cm, NP = 7 cm et MP = 8 cm. Ce triangle est-il rectangle ? Justifiez.
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Démarche. Le plus grand côté est [MP], de 8 cm. On compare MP² à la somme MN² + NP².
Calcul : MP² = 8² = 64. MN² + NP² = 5² + 7² = 25 + 49 = 74. Les deux nombres sont différents.
D'après la contraposée du théorème de Pythagore, si l'égalité n'est pas vérifiée, le triangle n'est pas rectangle. Le triangle MNP n'est donc pas rectangle.
Conclusion. Le triangle MNP n'est pas rectangle. Il ne faut pas comparer le carré de 7 cm, qui n'est pas le plus grand côté, pour conclure.
Exercice 5 — Problème : une échelle contre un mur
Une échelle de 5 m est posée contre un mur vertical. Son pied est à 1,4 m du mur. Le mur et le sol forment un angle droit. À quelle hauteur l'échelle touche-t-elle le mur ?
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Démarche. Le mur, le sol et l'échelle forment un triangle rectangle au pied du mur. L'échelle est l'hypoténuse, de 5 m. La hauteur h cherchée est un côté de l'angle droit.
Calcul : 5² = h² + 1,4², donc h² = 25 − 1,96 = 23,04. Donc h = √23,04 = 4,8 m.
Conclusion. L'échelle touche le mur à 4,8 m de hauteur.