Ces exercices appliquent la fiche « L'équation produit nul » : ils n'introduisent aucune règle nouvelle. Cherchez d'abord seul, puis comparez avec le corrigé. Chaque corrigé énonce la propriété utilisée, donne toutes les solutions et vérifie.
Exercice 1 — Équations déjà factorisées
Résolvez les équations suivantes.
a) (2x − 7)(x + 4) = 0 ; b) x(3x − 12) = 0 ; c) (5 − x)(2x + 3) = 0 ; d) (x + 1)² = 0.
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Dans chaque cas, un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul.
a) 2x − 7 = 0 donne x = 7/2 = 3,5 ; x + 4 = 0 donne x = −4. Solutions : 3,5 et −4.
b) x = 0 ou 3x − 12 = 0, soit x = 4. Solutions : 0 et 4.
c) 5 − x = 0 donne x = 5 ; 2x + 3 = 0 donne x = −3/2 = −1,5. Solutions : 5 et −1,5.
d) (x + 1)² = (x + 1)(x + 1) = 0 : x + 1 = 0, donc x = −1. L'équation n'a qu'une solution, −1, car les deux facteurs sont identiques.
Vérification pour b), x = 4 : 4 × (3 × 4 − 12) = 4 × 0 = 0.
Exercice 2 — Factoriser puis résoudre
Résolvez : a) x² + 6x = 0 ; b) 4x² − 9 = 0 ; c) 9x² = 25 ; d) x² + 9 = 0.
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a) x² + 6x = x(x + 6) : on factorise par x. L'équation x(x + 6) = 0 donne x = 0 ou x = −6.
b) 4x² − 9 = (2x)² − 3². On utilise a² − b² = (a − b)(a + b), avec a = 2x et b = 3 : (2x − 3)(2x + 3) = 0. Donc 2x − 3 = 0, soit x = 3/2, ou 2x + 3 = 0, soit x = −3/2. Solutions : 1,5 et −1,5.
c) 9x² = 25 équivaut à 9x² − 25 = 0, soit (3x)² − 5² = (3x − 5)(3x + 5) = 0. Donc x = 5/3 ou x = −5/3.
d) x² + 9 = 0 équivaut à x² = −9. Un carré n'est jamais négatif : l'équation n'a aucune solution. On n'essaie pas de factoriser x² + 9.
Exercice 3 — Quand le second membre n'est pas 0
Résolvez : a) (x + 1)(x − 4) = −6 ; b) (x − 5)(x + 1) = 7(x − 5).
Un élève résout b) en divisant les deux membres par (x − 5), et trouve x + 1 = 7. Que lui répondez-vous ?
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a) On développe : (x + 1)(x − 4) = x² − 4x + x − 4 = x² − 3x − 4. L'équation s'écrit x² − 3x − 4 = −6, soit x² − 3x + 2 = 0. On factorise : (x − 1)(x − 2) = x² − 2x − x + 2 = x² − 3x + 2. Donc x − 1 = 0 ou x − 2 = 0 : solutions 1 et 2.
Vérification : (1 + 1)(1 − 4) = 2 × (−3) = −6 ; (2 + 1)(2 − 4) = 3 × (−2) = −6.
b) On met tout à gauche : (x − 5)(x + 1) − 7(x − 5) = 0. On factorise par (x − 5) : (x − 5)[(x + 1) − 7] = (x − 5)(x − 6) = 0. Solutions : 5 et 6.
Vérification : pour x = 5, les deux membres valent 0 ; pour x = 6, (1)(7) = 7 et 7 × 1 = 7.
La réponse à l'élève. En divisant par (x − 5), il perd la solution x = 5 : on ne divise pas par une expression qui peut être nulle (ici, quand x = 5). Il trouve x = 6 seulement. Il faut factoriser.
Exercice 4 — Un problème de longueur
Un rectangle a une largeur de x cm et une longueur de (x + 3) cm. Son aire est de 40 cm².
- Montrez que x vérifie l'équation x² + 3x − 40 = 0.
- Montrez que x² + 3x − 40 = (x + 8)(x − 5).
- Résolvez l'équation et donnez les dimensions du rectangle.
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1. Mise en équation. L'aire d'un rectangle est le produit de sa longueur par sa largeur : x(x + 3) = 40, soit x² + 3x = 40, donc x² + 3x − 40 = 0.
2. Développement. (x + 8)(x − 5) = x² − 5x + 8x − 40 = x² + 3x − 40.
3. Résolution. L'équation s'écrit (x + 8)(x − 5) = 0 : x = −8 ou x = 5. Une largeur est positive : on écarte −8. La largeur est 5 cm et la longueur 5 + 3 = 8 cm. Vérification : 5 × 8 = 40 cm².
Conclusion. Le rectangle mesure 5 cm sur 8 cm.
Exercice 5 — Programme de calcul (format de l'épreuve)
Programme de calcul : on choisit un nombre x ; on calcule son carré ; on retranche 6 fois le nombre choisi.
- Écrivez le résultat en fonction de x.
- Pour quelles valeurs de x le résultat est-il nul ?
- Pour quelles valeurs de x le résultat est-il égal à −9 ?
- Le résultat peut-il être égal à −10 ? Justifiez.
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1. Expression. Le résultat est x² − 6x.
2. Résultat nul. x² − 6x = 0, soit x(x − 6) = 0 : x = 0 ou x = 6. Vérification : 6² − 6 × 6 = 0.
3. Résultat égal à −9. x² − 6x = −9 équivaut à x² − 6x + 9 = 0. On reconnaît a² − 2ab + b² = (a − b)² avec a = x et b = 3 : (x − 3)² = 0, donc x = 3. L'équation n'a qu'une solution. Vérification : 3² − 6 × 3 = 9 − 18 = −9.
4. Résultat égal à −10. x² − 6x = −10 équivaut à x² − 6x + 9 = −1, soit (x − 3)² = −1. Un carré n'est jamais négatif : l'équation n'a aucune solution. Le résultat ne peut pas être −10.
Conclusion. Le résultat vaut 0 pour x = 0 ou x = 6, vaut −9 uniquement pour x = 3, et ne vaut jamais −10. Barème indicatif : question 1 (1 point), 2 (1,5 point), 3 (1,5 point), 4 (1 point).