Ce que le jury attend
La partie mathématiques de la première épreuve écrite comprend « plusieurs exercices ou problèmes » et évalue la connaissance des notions du programme, leur mobilisation et l'expression écrite (arrêté du 17 avril 2025, art. 18, A, 1°). Aucun rapport de jury n'est versé pour cette notion : la fiche s'organise autour de quatre gestes (choix de rédaction du hub, non une exigence publiée) : énoncer la propriété utilisée, vérifier qu'elle s'applique (second membre égal à 0), factoriser quand il le faut, donner toutes les solutions et vérifier le résultat.
Ce que dit le programme
En troisième, parmi les objectifs du calcul littéral et algébrique, le programme demande de « résoudre une équation produit nul » et de manipuler les trois identités remarquables pour développer et factoriser (« Calcul littéral et algébrique », troisième). La factorisation d'une expression simple fait partie des automatismes. Le programme de seconde réinvestit ces acquis avec les équations du type x² = a.
La propriété du produit nul
Propriété du produit nul. Un produit de facteurs est nul si et seulement si au moins un de ses facteurs est nul. Autrement dit, A × B = 0 équivaut à A = 0 ou B = 0.
La phrase « si et seulement si » regroupe deux sens. Si l'un des facteurs est nul, le produit est nul ; et si le produit est nul, l'un des facteurs au moins l'est. Le « ou » est inclusif : les deux facteurs peuvent être nuls à la fois.
Pour une équation de la forme (ax + b)(cx + d) = 0, on obtient deux équations du premier degré, à résoudre séparément.
Exemple original
Résoudre (x − 3)(2x + 5) = 0. Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul.
- x − 3 = 0 donne x = 3.
- 2x + 5 = 0 donne 2x = −5, donc x = −5/2 = −2,5.
L'équation a deux solutions : 3 et −2,5. Vérification pour −2,5 : −2,5 − 3 = −5,5 et 2 × (−2,5) + 5 = 0 ; le produit vaut bien 0.
Erreur fréquente. Appliquer la propriété à un produit qui n'est pas égal à 0. De (x − 3)(x + 2) = 6, on ne peut pas conclure x − 3 = 6 ou x + 2 = 6. Un produit peut valoir 6 de mille façons (2 × 3, 1 × 6, −1 × (−6), etc.) : seule la valeur 0 caractérise un facteur nul.
Factoriser avant de résoudre
L'équation n'est pas toujours donnée sous forme d'un produit. On la ramène alors à un produit égal à 0 en trois étapes.
- Tout mettre dans le premier membre, de façon que le second soit 0.
- Factoriser le premier membre (facteur commun, identité remarquable).
- Appliquer la propriété du produit nul, résoudre chaque équation, vérifier.
Exemple original : facteur commun
Résoudre x² − 5x = 0. On factorise : x² − 5x = x(x − 5). L'équation devient x(x − 5) = 0, donc x = 0 ou x − 5 = 0. Les solutions sont 0 et 5.
Exemple original : développer puis factoriser
Résoudre (x − 3)(x + 2) = 6. On développe : x² + 2x − 3x − 6 = x² − x − 6, donc l'équation s'écrit x² − x − 6 = 6, soit x² − x − 12 = 0. On factorise x² − x − 12 = (x − 4)(x + 3) : le développement de (x − 4)(x + 3) donne x² + 3x − 4x − 12 = x² − x − 12. Les solutions sont 4 et −3. Vérification pour 4 : (4 − 3)(4 + 2) = 1 × 6 = 6. Pour −3 : (−3 − 3)(−3 + 2) = (−6) × (−1) = 6.
Exemple original : un facteur commun qui n'est pas un nombre
Résoudre (x + 2)(x − 1) = (x + 2)(3x + 4). On ramène tout à gauche : (x + 2)(x − 1) − (x + 2)(3x + 4) = 0. On factorise par (x + 2) : (x + 2)[(x − 1) − (3x + 4)] = (x + 2)(−2x − 5) = 0. Les solutions sont x = −2 et x = −5/2.
Si on divisait les deux membres par (x + 2), on perdrait la solution −2 : on ne simplifie jamais par une expression qui peut s'annuler. La factorisation évite cette perte.
Les équations du type x² = a
L'équation x² = a se ramène à un produit nul quand a est le carré d'un nombre :
Pour un nombre a donné :
- si a est strictement positif, x² = a a deux solutions, √a et −√a ;
- si a = 0, x² = 0 a une seule solution, 0 ;
- si a est strictement négatif, x² = a n'a aucune solution, car un carré n'est jamais négatif.
Exemple original
Résoudre x² − 16 = 0. On reconnaît a² − b² = (a − b)(a + b), l'une des trois identités remarquables du programme : x² − 16 = (x − 4)(x + 4). L'équation (x − 4)(x + 4) = 0 donne x = 4 ou x = −4.
Résoudre (x − 2)² = 9. On ramène à gauche : (x − 2)² − 9 = 0, puis (x − 2 − 3)(x − 2 + 3) = 0, soit (x − 5)(x + 1) = 0. Les solutions sont 5 et −1.
L'équation x² = 7 n'est pas le carré d'un nombre simple : ses solutions sont √7 et −√7, soit environ 2,65 et −2,65 (au centième près). L'équation x² = −9 n'a aucune solution.
Rédaction
« L'équation est équivalente à x² − 5x = 0, soit x(x − 5) = 0. Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul : x = 0 ou x − 5 = 0. Les solutions sont 0 et 5. »
La phrase de conclusion dit combien de solutions il y a et les donne toutes. Avec un énoncé qui demande de « vérifier », on remplace l'inconnue par chaque solution dans l'équation de départ.
Erreurs fréquentes
- Appliquer la propriété quand le second membre n'est pas 0 (voir l'encadré ci-dessus).
- Oublier une des deux solutions, notamment en simplifiant par un facteur commun ou en ne donnant que la racine positive de x² = a.
- Se tromper de signe : x + 4 = 0 donne x = −4, non x = 4.
- Ne pas factoriser complètement : x² − 5x = 0 se factorise par x, et non par « x − 5 ».
- Croire que x² = a n'a qu'une solution : si a > 0, il y en a deux, opposées.
Pour aller plus loin
Le développement et la factorisation sont indispensables pour se ramener à un produit nul ; la résolution de chaque facteur reprend les équations du premier degré.
- Un produit est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul : A × B = 0 équivaut à A = 0 ou B = 0.
- La propriété ne s'applique que si le second membre est 0.
- On ramène tout dans un membre, on factorise, puis on résout chaque facteur et on vérifie.
- On ne simplifie pas par un facteur qui peut s'annuler.
- x² = a : deux solutions si a > 0, une si a = 0, aucune si a < 0.