Ce que le jury attend
La partie mathématiques de la première épreuve écrite comprend « plusieurs exercices ou problèmes » et évalue la capacité à mobiliser les notions du programme et à rédiger (arrêté du 17 avril 2025, art. 18, A, 1°). Les fractions reviennent dans presque tous les problèmes du cycle 4 : partage, proportionnalité, probabilités, grandeurs. Le candidat doit savoir lire une fraction sous ses différents sens, comparer deux fractions, additionner et soustraire sans erreur de dénominateur, et justifier chaque étape.
Ce que dit le programme
Le programme du cycle 4 fixe le vocabulaire : une fraction est le quotient de deux entiers (numérateur et dénominateur), qu'il faut voir à la fois comme un nombre, comme une expression et comme un opérateur (fraction d'une quantité). Un nombre rationnel est un nombre égal au quotient de deux entiers, sans référence à une écriture particulière (programme du cycle 4, introduction de « Nombres et calculs »).
Au cinquième, le programme demande de reconnaître des fractions égales, de comparer deux fractions, d'additionner et de soustraire des fractions simples, et d'écrire un même nombre sous plusieurs formes (programme du cycle 4, cinquième, « Nombres rationnels »). Au quatrième : simplifier une fraction, définir l'opposé et l'inverse, calculer un produit. Au troisième : mettre une fraction sous forme irréductible (programme du cycle 4, troisième, « Nombres rationnels »).
Le cycle 3 a installé les sens de la fraction : une part d'un tout, une mesure, un opérateur pour une fraction unitaire ; la sixième y ajoute le sens de quotient (programme du cycle 3, « Les fractions », CM1 et sixième).
Les trois sens d'une fraction
Fraction. Pour a et b entiers, avec b non nul, la fraction a/b désigne le quotient de a par b : a est le numérateur, b le dénominateur.
- Partie d'un tout : 3/4 d'une tarte est une tarte partagée en 4 parts égales, dont on prend 3.
- Quotient : 3/4 est le résultat de 3 ÷ 4 = 0,75. Savoir que 7 × (3/7) = 3 relie les deux écritures (programme du cycle 4, cinquième et quatrième, automatismes).
- Opérateur : prendre 3/4 d'une quantité revient à la diviser par 4 puis à multiplier par 3. Par exemple, 3/4 de 20 = (20 ÷ 4) × 3 = 15.
Égalité de fractions
On ne change pas la valeur d'une fraction en multipliant ou en divisant son numérateur et son dénominateur par un même nombre non nul. On écrit donc :
- a/b = (a × k)/(b × k), pour k non nul.
- 2/3 = 4/6 = 10/15 : on multiplie par 2, puis par 5.
- 5/3 = 15/9 : on multiplie les deux termes par 3.
Dans l'autre sens, simplifier une fraction revient à diviser les deux termes par un diviseur commun. La méthode de la fiche « multiples, diviseurs et divisibilité » permet de trouver le plus grand diviseur commun (programme du cycle 4, quatrième et troisième).
Comparer deux fractions
Même dénominateur : la fraction la plus grande est celle qui a le plus grand numérateur. Exemple : 5/7 > 2/7.
Dénominateurs différents : on écrit les deux fractions avec un même dénominateur, puis on compare les numérateurs. Exemple : 2/3 et 3/4 ; on écrit 2/3 = 8/12 et 3/4 = 9/12, donc 2/3 < 3/4.
Repères : on compare chaque fraction à 1/2 ou à 1, ce qui évite souvent un calcul. Exemple : 5/4 > 1 et 3/7 < 1/2, donc 5/4 > 3/7 ; on vérifie 3/7 < 1/2 en écrivant 6/14 < 7/14.
Erreur fréquente. Croire que 1/8 est plus grand que 1/4 parce que 8 est plus grand que 4. Plus le dénominateur est grand, plus les parts sont petites : 1/8 < 1/4.
Additionner et soustraire
On additionne ou on soustrait des fractions de même dénominateur en gardant le dénominateur et en combinant les numérateurs : 2/5 + 1/5 = 3/5 ; 7/9 − 4/9 = 3/9 = 1/3.
Pour des dénominateurs différents, on cherche un dénominateur commun, de préférence le plus petit possible, et on écrit chaque fraction avec ce dénominateur.
Calculer 1/3 + 1/4. Un dénominateur commun est 12 : 1/3 = 4/12 et 1/4 = 3/12. Donc 1/3 + 1/4 = 4/12 + 3/12 = 7/12.
Calculer 3/4 − 1/6. Un dénominateur commun est 12 : 3/4 = 9/12 et 1/6 = 2/12. Donc 3/4 − 1/6 = 9/12 − 2/12 = 7/12.
Calculer 2/3 + 3/4. 2/3 = 8/12 et 3/4 = 9/12. Donc 2/3 + 3/4 = 17/12, soit 1 + 5/12.
Erreur fréquente. Écrire 1/2 + 1/3 = 2/5, en additionnant les numérateurs et les dénominateurs. Le résultat correct est 1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6.
Le programme demande de savoir écrire une fraction sous la forme d'une somme d'un nombre entier et d'une fraction inférieure à 1 (programme du cycle 4, cinquième, automatismes) : 17/5 = 15/5 + 2/5 = 3 + 2/5.
Un même nombre, plusieurs écritures
Un nombre rationnel peut s'écrire sous plusieurs formes : fractionnaire, décimale, pourcentage. Le programme demande d'écrire un même nombre sous de multiples formes (programme du cycle 4, cinquième, automatismes).
3/4 = 0,75 = 75/100 = 75 %.
1/8 = 0,125.
Le programme demande d'entretenir l'écriture décimale des fractions simples, comme 1/2 = 0,5, 1/4 = 0,25 et 3/4 = 0,75 (programme du cycle 4, cinquième, automatismes).
Un exemple de problème
Un jardinier a préparé 3/4 d'une parcelle de 240 m² en légumes, puis 1/6 de la parcelle en fleurs. Quelle fraction de la parcelle reste libre ?
- Additionner les fractions occupées : 3/4 + 1/6. Dénominateur commun 12 : 9/12 + 2/12 = 11/12.
- Calculer la fraction libre : 1 − 11/12 = 12/12 − 11/12 = 1/12.
- Calculer l'aire libre : 1/12 de 240 m² = 240 ÷ 12 = 20 m².
- Rédiger la conclusion avec l'unité : 20 m² restent libres, soit 1/12 de la parcelle.
Erreurs fréquentes
- Additionner numérateurs et dénominateurs (voir ci-dessus).
- Oublier que la fraction d'une quantité se calcule en multipliant (voir le sens opérateur).
- Simplifier une partie seulement de la fraction, ce qui change sa valeur.
Pour aller plus loin
Les diviseurs communs et la forme irréductible sont traités dans la fiche multiples, diviseurs et divisibilité. Les pourcentages, autre écriture d'un même nombre, sont présentés dans la fiche pourcentages. La fiche opérations et priorités rappelle l'ordre des calculs avec des fractions.
- Une fraction est un quotient, un partage ou un opérateur : trois sens à savoir mobiliser.
- Les fractions égales s'obtiennent en multipliant ou en divisant les deux termes par un même nombre non nul.
- Pour comparer ou additionner deux fractions de dénominateurs différents, on utilise un dénominateur commun.
- On n'additionne jamais les numérateurs et les dénominateurs séparément.
- Une même fraction a plusieurs écritures : fractionnaire, décimale, pourcentage.