Ces exercices appliquent les règles de la fiche : ils n'introduisent aucune règle nouvelle. Les énoncés sont écrits pour l'occasion. Cherchez d'abord seul, puis comparez avec le corrigé. Chaque corrigé donne la méthode, le résultat et, pour un problème, la phrase de conclusion.
Exercice 1 — Produits de fractions
Calculer chaque produit et donner le résultat sous forme de fraction irréductible.
- 3/5 × 10/9
- 7/12 × 8/21
- 4 × 5/6
- (−2/3) × (9/4)
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Démarche. On multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux, en simplifiant de préférence avant de calculer.
- 3/5 × 10/9 = (3 × 10)/(5 × 9) = 30/45 = 2/3 (on simplifie par 15). Autre méthode : 3 et 9 se simplifient par 3, 10 et 5 par 5, ce qui donne (1 × 2)/(1 × 3) = 2/3.
- 7/12 × 8/21 = (7 × 8)/(12 × 21) = 56/252. Le plus grand diviseur commun de 56 et 252 est 28, d'où 2/9. Avec simplification préalable : 7 et 21 par 7, 8 et 12 par 4 : (1 × 2)/(3 × 3) = 2/9.
- 4 × 5/6 = 4/1 × 5/6 = 20/6 = 10/3.
- (−2/3) × (9/4) = −(2 × 9)/(3 × 4) = −18/12 = −3/2. Le produit d'un nombre négatif par un nombre positif est négatif.
Exercice 2 — Fraction d'une quantité
Un livre compte 360 pages. Lina en lit le quart le samedi, puis les deux tiers des pages restantes le dimanche.
- Combien de pages Lina lit-elle le samedi ? Combien en reste-t-il à la fin du samedi ?
- Combien de pages lit-elle le dimanche ?
- Quelle fraction du livre reste-t-elle à lire à la fin du dimanche ? Retrouver ce résultat par un calcul de fractions sans utiliser le nombre de pages.
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- Le samedi : 1/4 × 360 = 360 ÷ 4 = 90 pages. Il reste 360 − 90 = 270 pages.
- Le dimanche : 2/3 des 270 pages restantes, soit 2/3 × 270 = (270 ÷ 3) × 2 = 90 × 2 = 180 pages.
- À la fin du dimanche, il reste 270 − 180 = 90 pages, soit 90/360 = 1/4 du livre.
Par les fractions : après le samedi, il reste 1 − 1/4 = 3/4 du livre. Le dimanche, Lina lit les 2/3 de ce reste, il en reste donc 1/3. La fraction restante est 1/3 × 3/4 = 3/12 = 1/4. Les deux méthodes concordent.
Conclusion : à la fin du dimanche, il reste 90 pages à lire, soit le quart du livre.
Exercice 3 — Inverse et division
- Donner l'inverse de chaque nombre : 4/9 ; 8 ; −3/7 ; 0,25.
- Pourquoi 0 n'a-t-il pas d'inverse ?
- Calculer et donner le résultat sous forme irréductible :
- a. 5/6 ÷ 10/9
- b. 6 ÷ 3/4
- c. (3/8)/(9/16)
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- L'inverse de a/b est b/a.
- L'inverse de 4/9 est 9/4, car 4/9 × 9/4 = 36/36 = 1.
- L'inverse de 8 est 1/8, car 8 × 1/8 = 1.
- L'inverse de −3/7 est −7/3, car (−3/7) × (−7/3) = 21/21 = 1.
- 0,25 = 1/4, dont l'inverse est 4.
- Un nombre multiplié par 0 donne 0, jamais 1 : il n'existe aucun nombre x tel que 0 × x = 1. Donc 0 n'a pas d'inverse.
- Diviser par une fraction non nulle, c'est multiplier par son inverse.
- a. 5/6 ÷ 10/9 = 5/6 × 9/10 = 45/60 = 3/4.
- b. 6 ÷ 3/4 = 6 × 4/3 = 24/3 = 8. Vérification : 3/4 × 8 = 6.
- c. (3/8)/(9/16) = 3/8 × 16/9 = 48/72 = 2/3.
Exercice 4 — Expressions à plusieurs opérations
Calculer, en détaillant les étapes, puis donner le résultat sous forme irréductible.
A = 3/4 − 1/2 × 2/3
B = (2/3 + 1/6) ÷ 5/4
C = 1 ÷ (1/2 + 1/3)
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Démarche. Les parenthèses sont prioritaires, puis les multiplications et les divisions, puis les additions et les soustractions.
- A : la multiplication passe avant la soustraction. 1/2 × 2/3 = 2/6 = 1/3. Puis A = 3/4 − 1/3 = 9/12 − 4/12 = 5/12.
- B : dans la parenthèse, 2/3 + 1/6 = 4/6 + 1/6 = 5/6. Puis B = 5/6 ÷ 5/4 = 5/6 × 4/5 = 20/30 = 2/3.
- C : dans la parenthèse, 1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6. Puis C = 1 ÷ 5/6 = 1 × 6/5 = 6/5. C est l'inverse de la somme 5/6.
Exercice 5 — Problème
Une boulangère dispose de 9/2 kg de pâte. Chaque tarte utilise 3/8 kg de pâte.
- Combien de tartes peut-elle préparer ?
- Elle vend les deux tiers des tartes dans la matinée, puis les trois quarts des tartes restantes dans l'après-midi. Combien de tartes lui reste-t-il à la fin de la journée ?
- Quelle fraction du nombre initial de tartes cela représente-t-il ?
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- Le nombre de tartes est le nombre de fois que 3/8 kg tient dans 9/2 kg : 9/2 ÷ 3/8 = 9/2 × 8/3 = 72/6 = 12. Elle peut préparer 12 tartes. Contrôle : 12 × 3/8 = 36/8 = 9/2 kg.
- Le matin : 2/3 × 12 = 8 tartes vendues, il en reste 12 − 8 = 4. L'après-midi : 3/4 × 4 = 3 tartes vendues, il en reste 4 − 3 = 1 tarte.
- Le soir, il reste 1 tarte sur 12, soit 1/12 du nombre initial. Contrôle par les fractions : il reste 1/3 des tartes après le matin, puis 1/4 de ce reste après l'après-midi : 1/4 × 1/3 = 1/12.
Conclusion : la boulangère prépare 12 tartes et il lui en reste 1 à la fin de la journée, soit 1/12 de la production.