Ces exercices appliquent les règles de la fiche : ils n'introduisent aucune règle nouvelle. Les énoncés sont écrits pour l'occasion. Cherchez d'abord seul, puis comparez avec le corrigé. Chaque corrigé donne la méthode, le résultat et, pour un problème, la phrase de conclusion.
Exercice 1 — Développer
Développer et réduire chaque expression.
- (x + 6)2
- (x − 1)2
- (2x + 3)2
- (5 − x)(5 + x)
- (3x − 2)2
Afficher le corrigéMasquer le corrigé
Démarche. On identifie a et b, puis on applique l'identité qui convient.
- (x + 6)2 : a = x, b = 6. On obtient x2 + 2 × x × 6 + 62 = x2 + 12x + 36.
- (x − 1)2 = x2 − 2 × x × 1 + 12 = x2 − 2x + 1.
- (2x + 3)2 = (2x)2 + 2 × 2x × 3 + 32 = 4x2 + 12x + 9. Résultat : 4x2 + 12x + 9.
- (5 − x)(5 + x) = 52 − x2 = 25 − x2.
- (3x − 2)2 = (3x)2 − 2 × 3x × 2 + 22 = 9x2 − 12x + 4.
Contrôle possible pour la question 5 avec x = 1 : (3 − 2)2 = 1 et 9 − 12 + 4 = 1.
Exercice 2 — Factoriser
Factoriser chaque expression, ou dire pourquoi une identité remarquable ne s'applique pas.
- x2 − 6x + 9
- 25x2 − 1
- 16x2 + 40x + 25
- 49 − 4x2
- x2 + 4x + 5
Afficher le corrigéMasquer le corrigé
- x2 = x2 et 9 = 32 ; le double produit vaut 2 × x × 3 = 6x, précédé d'un signe moins. Donc x2 − 6x + 9 = (x − 3)2.
- 25x2 = (5x)2 et 1 = 12 : différence de deux carrés. Donc (5x − 1)(5x + 1).
- 16x2 = (4x)2, 25 = 52 et 2 × 4x × 5 = 40x. Donc (4x + 5)2.
- 49 = 72 et 4x2 = (2x)2 : différence de deux carrés. Donc (7 − 2x)(7 + 2x).
- x2 + 4x + 5 : le terme x2 est un carré, mais le double produit 4x imposerait b = 2, dont le carré est 4 et non 5 : (x + 2)2 = x2 + 4x + 4, qui diffère de l'expression. Aucune identité ne s'applique.
Vérification systématique : on redéveloppe chaque résultat. Par exemple (4x + 5)2 = 16x2 + 40x + 25.
Exercice 3 — Calcul mental
Calculer sans calculatrice, en utilisant une identité remarquable : 712 ; 692 ; 98 × 102 ; 1,012.
Afficher le corrigéMasquer le corrigé
- 712 = (70 + 1)2 = 702 + 2 × 70 × 1 + 12 = 4 900 + 140 + 1 = 5 041.
- 692 = (70 − 1)2 = 4 900 − 140 + 1 = 4 761.
- 98 × 102 = (100 − 2)(100 + 2) = 1002 − 22 = 10 000 − 4 = 9 996.
- 1,012 = (1 + 0,01)2 = 1 + 0,02 + 0,000 1 = 1,020 1.
Exercice 4 — Prouver
- Théo écrit : « (x + 4)2 = x2 + 16 ». Montrer, avec une valeur de x, que cette égalité est fausse, puis donner la bonne expression développée.
- Démontrer que, pour tout nombre n, n(n + 2) + 1 = (n + 1)2.
- En déduire la valeur de 7 × 9 + 1, puis de 99 × 101 + 1.
Afficher le corrigéMasquer le corrigé
- Avec x = 1 : (1 + 4)2 = 25, alors que 12 + 16 = 17. L'égalité est fausse : un seul contre-exemple suffit. Il manque le double produit : (x + 4)2 = x2 + 2 × x × 4 + 42 = x2 + 8x + 16.
- n(n + 2) + 1 = n2 + 2n + 1. D'après l'identité (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 avec a = n et b = 1, on a n2 + 2n + 1 = (n + 1)2. L'égalité est donc vraie pour tout nombre n.
- Avec n = 7, on a n + 2 = 9 : 7 × 9 + 1 = (7 + 1)2 = 82 = 64. Avec n = 99, on a n + 2 = 101 : 99 × 101 + 1 = 1002 = 10 000. Contrôle : 99 × 101 = 9 999.
Exercice 5 — Problème d'aire
Un carré a un côté de c cm, avec c strictement supérieur à 2. On construit un rectangle dont la longueur est c + 2 cm et la largeur c − 2 cm.
- Exprimer l'aire du carré et l'aire du rectangle en fonction de c.
- Montrer que l'aire du rectangle est inférieure de 4 cm2 à celle du carré, quelle que soit la valeur de c.
- Vérifier avec c = 10.
Afficher le corrigéMasquer le corrigé
- Aire du carré : c × c = c2 cm2. Aire du rectangle : (c + 2)(c − 2) cm2.
- D'après l'identité (a − b)(a + b) = a2 − b2 avec a = c et b = 2, (c + 2)(c − 2) = c2 − 4. La différence entre l'aire du carré et celle du rectangle est c2 − (c2 − 4) = 4. Elle ne dépend pas de c.
- Pour c = 10 : l'aire du carré est 100 cm2, celle du rectangle est 12 × 8 = 96 cm2, et 100 − 96 = 4 cm2.
Conclusion : quelle que soit la longueur c du côté du carré (supérieure à 2), le rectangle a une aire inférieure de 4 cm2.