Ce que le jury attend
La partie mathématiques de la première épreuve écrite comprend « plusieurs exercices ou problèmes » : l'épreuve permet d'apprécier la connaissance des notions du programme et l'aptitude à les mobiliser, et sollicite les capacités de raisonnement et d'expression écrite du candidat (arrêté du 17 avril 2025, art. 18, A, 1°). Le programme de troisième demande de manipuler les trois identités remarquables pour développer et factoriser : la fiche couvre cet attendu et démontre les trois identités par la double distributivité.
Ce que dit le programme
En troisième, le programme demande d'utiliser la double distributivité pour développer et factoriser des expressions dont le facteur est apparent, puis de manipuler les trois identités remarquables pour développer et factoriser. Il les écrit a2 + 2ab + b2 = (a + b)2, a2 − 2ab + b2 = (a − b)2 et a2 − b2 = (a − b)(a + b) (programme du cycle 4, troisième, « Calcul littéral et algébrique », objectifs d'apprentissage). La distributivité simple, étudiée dès la cinquième, est traitée dans la fiche développer et factoriser.
Les trois identités
Identités remarquables. Pour tous nombres a et b :
- (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (carré d'une somme) ;
- (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 (carré d'une différence) ;
- (a − b)(a + b) = a2 − b2 (produit d'une somme par la différence des mêmes nombres).
Le terme 2ab s'appelle le double produit : c'est deux fois le produit des deux nombres a et b. Le programme demande aux professeurs de préciser si une propriété est admise ou démontrée (« La place du raisonnement ») : ces trois identités se démontrent avec la double distributivité, comme on le voit ci-dessous.
Pourquoi elles sont vraies
Carré d'une somme. (a + b)2 = (a + b)(a + b) = a × a + a × b + b × a + b × b = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2.
Carré d'une différence. (a − b)2 = (a − b)(a − b) = a2 − ab − ba + b2 = a2 − 2ab + b2.
Produit somme-différence. (a − b)(a + b) = a2 + ab − ba − b2 = a2 − b2, car ab − ba = 0.
Une lecture géométrique de la première identité, quand a et b sont positifs : un carré de côté a + b se découpe en un carré de côté a (aire a2), un carré de côté b (aire b2) et deux rectangles a sur b (aire ab chacun), ce qui donne l'aire totale a2 + 2ab + b2.
Vérification numérique : pour a = 5 et b = 2, (5 + 2)2 = 49 et 25 + 20 + 4 = 49 ; (5 − 2)2 = 9 et 25 − 20 + 4 = 9 ; (5 − 2)(5 + 2) = 21 et 25 − 4 = 21. Un exemple numérique ne prouve pas une identité, mais il permet de détecter une erreur.
Développer
Développer, c'est passer d'un produit à une somme. On repère a et b dans l'expression, on calcule a2, b2 et le double produit 2ab, puis on assemble.
- (x + 3)2 : a = x, b = 3. On obtient x2 + 2 × x × 3 + 9 = x2 + 6x + 9.
- (2x − 5)2 : a = 2x, b = 5. a2 = 4x2, 2ab = 2 × 2x × 5 = 20x, b2 = 25. Donc 4x2 − 20x + 25.
- (x − 4)(x + 4) : a = x, b = 4, donc x2 − 16.
- (3x + 1)(3x − 1) : a = 3x, b = 1, donc 9x2 − 1.
Erreur fréquente. Écrire (a + b)2 = a2 + b2, en oubliant le double produit. Avec a = 3 et b = 4, (3 + 4)2 = 49 mais 32 + 42 = 25. Autres erreurs : écrire (a − b)2 = a2 − b2, ou (x − 3)2 = x2 − 6x − 9 (le dernier terme est toujours + b2, jamais négatif), ou encore (2x)2 = 2x2 au lieu de 4x2.
Factoriser
Factoriser, c'est passer d'une somme à un produit : on lit les identités de droite à gauche.
- Chercher deux termes qui sont des carrés : a2 et b2.
- Si les deux sont additionnés avec un troisième terme, vérifier que ce troisième terme est +2ab ou −2ab ; on obtient alors (a + b)2 ou (a − b)2.
- Si l'expression est une différence de deux carrés a2 − b2, on obtient (a − b)(a + b).
- Vérifier en redéveloppant.
- x2 + 10x + 25 : a = x, b = 5, 2ab = 10x. Donc (x + 5)2.
- 4x2 − 12x + 9 : a = 2x, b = 3, 2ab = 12x. Donc (2x − 3)2.
- x2 − 49 : a = x, b = 7. Donc (x − 7)(x + 7).
- 9x2 − 16 : a = 3x, b = 4. Donc (3x − 4)(3x + 4).
Attention aux cas où l'identité ne s'applique pas. x2 + 6x + 10 n'est pas un carré : (x + 3)2 vaut x2 + 6x + 9, pas 10. x2 + 9 est une somme de deux carrés, sans double produit : aucune des trois identités ne la factorise.
Calcul mental et preuve
Les identités transforment un calcul difficile en calcul simple. Le programme ne cite pas cet usage ; c'est une application directe des identités.
- 512 = (50 + 1)2 = 2 500 + 100 + 1 = 2 601.
- 992 = (100 − 1)2 = 10 000 − 200 + 1 = 9 801.
- 47 × 53 = (50 − 3)(50 + 3) = 2 500 − 9 = 2 491.
- 1 0022 = (1 000 + 2)2 = 1 000 000 + 4 000 + 4 = 1 004 004.
Une preuve. Pour tout entier n, la différence entre les carrés de deux entiers consécutifs est un nombre impair. En effet, (n + 1)2 − n2 = ((n + 1) − n)((n + 1) + n) = 1 × (2n + 1) = 2n + 1. Le programme demande de connaître l'expression générale d'un nombre impair, 2n + 1 (troisième, « Calcul littéral et algébrique », automatismes). Contrôle : 82 − 72 = 64 − 49 = 15 = 2 × 7 + 1.
Erreurs fréquentes
- Oublier le double produit 2ab, ou son signe.
- Mal élever au carré un produit : (3x)2 = 9x2, pas 3x2.
- Écrire un « − b2 » à la place de « + b2 » dans (a − b)2.
- Factoriser une somme de deux carrés avec la troisième identité.
- Ne pas vérifier en redéveloppant.
Pour aller plus loin
Les carrés sont étudiés dans la fiche les puissances ; la manipulation des lettres dans la fiche expressions littérales. Les exercices corrigés sont dans la page d'exercices.
- (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ; (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 ; (a − b)(a + b) = a2 − b2.
- Le double produit 2ab ne s'oublie jamais, et b2 est toujours précédé d'un +.
- Pour factoriser : trouver a et b, vérifier le double produit, puis redévelopper.
- Une somme de deux carrés a2 + b2 ne se factorise pas avec ces identités.
- Un exemple numérique détecte une erreur mais ne prouve pas une identité.