Ce que le jury attend
La partie mathématiques de la première épreuve écrite comprend « plusieurs exercices ou problèmes » : elle permet d'apprécier la connaissance des notions du programme et l'aptitude à les mobiliser, et sollicite le raisonnement et l'expression écrite (arrêté du 17 avril 2025, art. 18, A, 1°). Les inéquations relèvent du programme de troisième ; la fiche couvre la résolution, le sens de l'inégalité et la représentation des solutions.
Ce que dit le programme
En troisième, le programme demande de « résoudre analytiquement et graphiquement une inéquation du premier degré du type ax ⩾ b » (programme du cycle 4, troisième, « Calcul littéral et algébrique », objectifs d'apprentissage). La rubrique « Fonctions » de troisième demande aussi de résoudre graphiquement des équations et des inéquations linéaires.
La fiche équations du premier degré donne la méthode des opérations inverses, sur laquelle celle-ci s'appuie.
Vocabulaire
Inéquation (définition de travail du hub). Inégalité qui contient une inconnue. Une solution est une valeur de l'inconnue pour laquelle l'inégalité est vraie. Résoudre l'inéquation, c'est trouver toutes ses solutions.
Les signes sont < (strictement inférieur), ⩽ (inférieur ou égal), > (strictement supérieur) et ⩾ (supérieur ou égal). Pour l'inéquation x ⩾ 3, les nombres 3, 3,5 et 10 sont des solutions ; 2,9 n'en est pas une.
Résoudre ax ⩾ b avec a positif
Quand a est un nombre strictement positif, on divise les deux membres par a et le sens de l'inégalité ne change pas.
4x ⩾ 12 : on divise les deux membres par 4, donc x ⩾ 3. Vérification avec x = 5 : 4 × 5 = 20 et 20 ⩾ 12 ; avec x = 2 : 4 × 2 = 8 et 8 n'est pas supérieur ou égal à 12.
Quand a est négatif : le sens change
Multiplier ou diviser les deux membres par un nombre négatif change le sens de l'inégalité (propriété classique ; le programme cite le type ax ⩾ b sans détailler ce point). Un exemple numérique le montre : 3 > 2, mais en multipliant par −1 on obtient −3 < −2, car −3 est à gauche de −2 sur la droite graduée.
−2x ⩾ 6 : on divise par −2 et on change le sens, donc x ⩽ −3.
Vérification avec x = −4 : −2 × (−4) = 8 et 8 ⩾ 6, vrai. Avec x = 0 : −2 × 0 = 0, et 0 n'est pas supérieur ou égal à 6, faux. Avec x = −3 : −2 × (−3) = 6 et 6 ⩾ 6, vrai.
Erreur fréquente. Écrire x ⩾ −3 au lieu de x ⩽ −3 en oubliant de changer le sens. Un test sur une valeur suffit à détecter l'erreur : x = 0 vérifierait x ⩾ −3, mais pas −2x ⩾ 6.
Aller plus loin : ax + b ⩾ c
Le programme cite le type ax ⩾ b. Dans les problèmes, on rencontre aussi ax + b ⩾ c : on retire d'abord b aux deux membres, ce qui ne change pas le sens, puis on divise par a (extension du hub, par analogie avec les équations).
3x + 5 < 20 : on retire 5, 3x < 15 ; on divise par 3, x < 5. Les solutions sont tous les nombres strictement inférieurs à 5.
Représenter les solutions
Sur une droite graduée, on colorie la partie qui contient les solutions et on marque la borne. Convention du hub : un point plein pour une borne incluse (⩾ ou ⩽), un point vide pour une borne exclue (< ou >). Pour x ⩽ −3, on colorie à gauche de −3 et on place un point plein sur −3.
Un exemple de problème
Un abonnement coûte 12 € puis 3 € par séance. Le budget maximal est de 45 €. Combien de séances peut-on suivre au plus ?
- Choisir l'inconnue : x est le nombre de séances.
- Traduire : 12 + 3x ⩽ 45.
- Résoudre : on retire 12, 3x ⩽ 33 ; on divise par 3, x ⩽ 11.
- Conclure : le nombre de séances est un entier ; on peut suivre au plus 11 séances. Vérification : 12 + 3 × 11 = 45, qui respecte le budget.
Erreurs fréquentes
- Oublier de changer le sens en multipliant ou en divisant par un nombre négatif.
- Confondre > et ⩾ : 3 est solution de x ⩾ 3, mais pas de x > 3.
- Donner une seule valeur comme solution, alors qu'il y en a une infinité.
- Ne pas interpréter le résultat dans le problème : un nombre de séances est un entier.
Pour aller plus loin
La méthode des opérations inverses est détaillée dans la fiche équations du premier degré. Les signes et les règles sur les négatifs sont repris dans la fiche nombres relatifs.
- Résoudre une inéquation, c'est trouver tous les nombres qui la vérifient.
- Diviser ou multiplier par un nombre positif : le sens ne change pas.
- Diviser ou multiplier par un nombre négatif : le sens change.
- Tester une valeur permet de contrôler le résultat.
- Dans un problème, conclure en tenant compte de la nature de l'inconnue.