Ces exercices appliquent la fiche : ils n'introduisent aucune règle nouvelle. Les figures sont décrites en texte et les quadrilatères sont non croisés. Cherchez d'abord seul, puis comparez avec le corrigé.
Exercice 1 — Reconnaître la nature d'un quadrilatère
Pour chaque quadrilatère, donner sa nature la plus précise et justifier.
- ABCD : AB = DC = 6 cm et AD = BC = 4 cm.
- EFGH : (EF) est parallèle à (HG) et EF = HG = 5 cm.
- IJKL : IJ = JK = KL = LI = 7 cm.
- MNOP : les diagonales [MO] et [NP] se coupent en leur milieu et MO = NP = 8 cm.
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Les côtés opposés de ABCD sont de même longueur deux à deux, et le quadrilatère n'est pas croisé : c'est un parallélogramme. Les données ne permettent pas d'aller plus loin (aucun angle droit, côtés consécutifs inégaux : 6 ≠ 4).
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EFGH a deux côtés opposés parallèles et de même longueur : c'est un parallélogramme. Les autres côtés ne sont pas donnés, on s'arrête là.
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IJKL a ses quatre côtés de même longueur. Il a donc ses côtés opposés de même longueur, c'est un parallélogramme, et deux côtés consécutifs de même longueur : c'est un losange. Rien n'indique un angle droit, ce n'est donc pas démontré que c'est un carré.
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Les diagonales de MNOP se coupent en leur milieu : c'est un parallélogramme. Elles ont de plus la même longueur (8 cm) : c'est un rectangle.
Barème indicatif : 1 point + 1 point + 2 points + 2 points, soit 6 points.
Exercice 2 — Angles et périmètre
ABCD est un parallélogramme avec AB = 8 cm, BC = 5 cm, et l'angle en A mesure 70°.
- Calculer le périmètre de ABCD.
- Donner les mesures des angles en B, C et D. Justifier.
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Dans un parallélogramme, les côtés opposés sont de même longueur : CD = AB = 8 cm et AD = BC = 5 cm. Périmètre = 8 + 5 + 8 + 5 = 26 cm.
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Les angles opposés d'un parallélogramme sont égaux : l'angle en C mesure 70°, comme l'angle en A. Deux angles consécutifs ont pour somme 180° : l'angle en B mesure 180 − 70 = 110°. L'angle en D, opposé à B, mesure aussi 110°. Contrôle : 70 + 110 + 70 + 110 = 360°.
Barème indicatif : 2 points + 3 points, soit 5 points.
Exercice 3 — Aire et conversion
Un parallélogramme a une base de 12 cm. La hauteur correspondante mesure 7 cm. Le côté voisin de la base mesure 8 cm.
- Calculer l'aire du parallélogramme en cm².
- Exprimer cette aire en m².
- On prend maintenant pour base un côté de 15 cm : quelle est la hauteur correspondante pour la même aire ?
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Aire = base × hauteur = 12 × 7 = 84 cm². Le côté voisin de 8 cm est oblique : il ne sert pas au calcul de l'aire.
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1 m² = 10 000 cm². L'aire vaut 84 ÷ 10 000 = 0,0084 m².
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Pour une base de 15 cm, 15 × h = 84, donc h = 84 ÷ 15 = 5,6 cm. Contrôle : 15 × 5,6 = 84.
Barème indicatif : 2 points + 2 points + 2 points, soit 6 points.
Exercice 4 — Vrai ou faux, avec justification
Dire si chaque affirmation est vraie ou fausse et justifier.
- Un quadrilatère qui a ses quatre côtés de même longueur est un losange.
- Un quadrilatère dont les diagonales sont perpendiculaires est un losange.
- Tout carré est un rectangle.
- Un parallélogramme qui a deux côtés consécutifs perpendiculaires est un rectangle.
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Vrai. Quatre côtés égaux entraînent que les côtés opposés sont égaux deux à deux : c'est un parallélogramme, qui a deux côtés consécutifs égaux : c'est un losange.
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Faux. Il faut aussi que les diagonales se coupent en leur milieu. Contre-exemple : les diagonales [AC] et [BD] sont perpendiculaires en O, avec OA = OC = 3 cm, OB = 2 cm et OD = 5 cm. Les diagonales ne se coupent pas en leur milieu (OB ≠ OD) : ABCD n'est pas un parallélogramme, donc pas un losange.
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Vrai. Un carré est un parallélogramme qui a un angle droit : c'est un rectangle (et aussi un losange).
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Vrai. Deux côtés consécutifs perpendiculaires forment un angle droit. Un parallélogramme qui a un angle droit est un rectangle, par définition.
Barème indicatif : 1 point + 2 points + 1 point + 1 point, soit 5 points.
Exercice 5 — Problème de terrain
Un terrain a la forme d'un parallélogramme ABCD avec AB = 10 m et AD = 6 m. La hauteur du terrain, mesurée perpendiculairement à (AB), est de 4 m.
- Calculer l'aire du terrain.
- Un sac d'engrais couvre 8 m². Combien de sacs faut-il pour couvrir tout le terrain ?
- On entoure le terrain d'un grillage à 12 € le mètre. Quel est le coût du grillage ?
- On place un poteau tous les 2 m le long du grillage, en commençant à un sommet. Combien de poteaux faut-il ?
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Aire = 10 × 4 = 40 m². Le côté de 6 m est oblique : il ne sert pas au calcul de l'aire.
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40 ÷ 8 = 5. Il faut exactement 5 sacs.
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Périmètre = 2 × (10 + 6) = 32 m. Coût = 32 × 12 = 384 €. Le grillage coûte 384 €.
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Sur une ligne fermée de 32 m, un poteau tous les 2 m donne 32 ÷ 2 = 16 poteaux : sur un contour fermé, le premier et le dernier poteau coïncident. Il faut 16 poteaux.
Barème indicatif : 2 points + 1 point + 2 points + 2 points, soit 7 points.