Ce que le jury attend
La partie mathématiques de la première épreuve écrite comprend « plusieurs exercices ou problèmes » : elle évalue la connaissance des notions du programme, l'aptitude à les mobiliser et les capacités de raisonnement et d'expression écrite (arrêté du 17 avril 2025, art. 18, A, 1°). Sur les parallélogrammes, un candidat doit savoir reconnaître une nature de quadrilatère en justifiant, en citant la propriété utilisée, puis calculer une aire avec ses unités.
Ce que dit le programme
En cinquième, il faut définir le parallélogramme, le construire, connaître les propriétés caractéristiques des côtés opposés et des diagonales, définir et caractériser le rectangle, le losange et le carré, calculer l'aire d'un parallélogramme et de figures complexes, et résoudre des problèmes avec des conversions d'unités de longueur et d'aire. Le programme demande aussi de reconnaître un quadrilatère en justifiant, et d'exploiter le codage d'une figure. En quatrième, on reconnaît un parallélogramme à l'aide de sa définition ou d'une propriété caractéristique, grâce aux codages (programme de mathématiques du cycle 4, « Parallélogrammes »).
Le parallélogramme
Parallélogramme. Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux.
Les sommets se nomment dans l'ordre du tour : ABCD est un parallélogramme si (AB) est parallèle à (DC) et (AD) parallèle à (BC).
Propriétés caractéristiques
Une propriété caractéristique permet de prouver qu'un quadrilatère est un parallélogramme : si elle est vraie, le quadrilatère est un parallélogramme, et réciproquement. Pour un quadrilatère non croisé ABCD, on retient :
- Les côtés opposés sont de même longueur deux à deux : AB = DC et AD = BC.
- Les diagonales [AC] et [BD] se coupent en leur milieu.
- Deux côtés opposés sont à la fois parallèles et de même longueur (par exemple (AB) parallèle à (DC) et AB = DC).
Conséquences, dans un parallélogramme : les angles opposés sont de même mesure ; deux angles consécutifs ont pour somme 180°, car ils sont liés par des droites parallèles et une sécante (voir angles et parallélisme). Le point d'intersection des diagonales est un centre de symétrie : voir les symétries.
Le quadrilatère ABCD est tel que AB = 5 cm, BC = 3 cm, CD = 5 cm et DA = 3 cm. Ses côtés opposés sont de même longueur deux à deux : c'est un parallélogramme (propriété 1), à condition qu'il ne soit pas croisé.
Attention : des côtés de même longueur ne suffisent pas pour un quadrilatère croisé. On précise « quadrilatère non croisé » dans la rédaction ou on s'appuie sur la figure.
Les parallélogrammes particuliers
Rectangle, losange, carré. Un rectangle est un parallélogramme qui a un angle droit (il en a alors quatre). Un losange est un parallélogramme qui a deux côtés consécutifs de même longueur (il a alors quatre côtés égaux). Un carré est à la fois un rectangle et un losange.
Leurs propriétés caractéristiques portent sur les diagonales :
| Quadrilatère | Définition | Propriété caractéristique sur les diagonales |
|---|---|---|
| Rectangle | Parallélogramme avec un angle droit | Parallélogramme dont les diagonales ont la même longueur |
| Losange | Parallélogramme avec deux côtés consécutifs égaux | Parallélogramme dont les diagonales sont perpendiculaires |
| Carré | Rectangle et losange | Diagonales de même longueur, perpendiculaires et de même milieu |
ABCD est un quadrilatère dont les diagonales [AC] et [BD] se coupent en leur milieu O, avec AC = BD = 10 cm. Ses diagonales ont même milieu : c'est un parallélogramme. Elles ont de plus la même longueur : c'est un rectangle.
Erreur fréquente. Affirmer qu'un quadrilatère est un losange parce que ses diagonales sont perpendiculaires, sans vérifier qu'elles se coupent en leur milieu. Deux diagonales perpendiculaires ne suffisent pas : un cerf-volant a ses diagonales perpendiculaires sans être un losange.
Reconnaître un quadrilatère en justifiant
Le programme demande de reconnaître en justifiant, dans des figures complexes. On suit une méthode.
- Lire le codage : égalités de longueurs, angles droits, parallèles.
- Choisir la propriété qui correspond aux données.
- L'écrire en une phrase : « Les diagonales de ABCD se coupent en leur milieu, donc ABCD est un parallélogramme. »
- Chercher si une propriété supplémentaire donne un cas particulier (angle droit, côtés consécutifs égaux).
- Conclure.
Aire d'un parallélogramme
L'aire d'un parallélogramme est le produit d'un côté, pris comme base, par la hauteur correspondante, perpendiculaire à ce côté : aire = base × hauteur. La hauteur n'est pas le côté voisin, qui est oblique.
Un parallélogramme a une base de 9 cm et une hauteur de 4 cm. Son aire est 9 × 4 = 36 cm². Un côté voisin de 5 cm est oblique : il ne sert pas au calcul de l'aire.
Le programme demande de résoudre des problèmes avec conversions d'unités d'aire : 1 m² = 10 000 cm². Un parallélogramme de 36 cm² vaut 0,0036 m². On convertit avant de calculer, jamais en cours de calcul avec des unités mélangées. Voir aires et périmètres.
Lien avec la translation
En quatrième, le programme fait le lien entre parallélogrammes et translations : ABCD est un parallélogramme si la translation qui transforme A en B transforme aussi D en C. Cette idée est développée dans translations et vecteurs.
- Parallélogramme : côtés opposés parallèles deux à deux ; propriétés caractéristiques : côtés opposés égaux, diagonales de même milieu, deux côtés opposés parallèles et égaux.
- Rectangle : diagonales de même longueur ; losange : diagonales perpendiculaires ; carré : les deux.
- Aire du parallélogramme : base × hauteur correspondante.
Erreurs fréquentes
- Prendre le côté oblique pour la hauteur dans le calcul de l'aire.
- Conclure « parallélogramme » à partir d'un seul couple de côtés égaux : il en faut deux, ou associer parallélisme et égalité.
- Croire que tout rectangle n'est pas un parallélogramme : un rectangle est un parallélogramme particulier.
- Oublier de nommer la propriété utilisée dans la justification.
Pour aller plus loin
Voir angles et parallélisme pour les angles ; translations et vecteurs pour le lien avec les translations. Passez ensuite aux exercices et au quiz.