Ces exercices appliquent les règles de la fiche : ils n'introduisent aucune règle nouvelle. Les énoncés sont écrits pour l'occasion. Cherchez d'abord seul, puis comparez avec le corrigé. Chaque corrigé donne la méthode, le résultat et, pour un problème, la phrase de conclusion. Les valeurs approchées sont celles d'une calculatrice, arrondies au centième.
Exercice 1 — Calculer des racines carrées
- Calculer √81, √(72), (√13)2 et 3 × √16.
- Calculer √9 + √16, puis √(9 + 16). Que constate-t-on ?
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- √81 = 9, car 9 est positif et 92 = 81. √(72) = √49 = 7. (√13)2 = 13, par définition de la racine carrée. 3 × √16 = 3 × 4 = 12.
- √9 + √16 = 3 + 4 = 7, alors que √(9 + 16) = √25 = 5. On constate que √9 + √16 ≠ √(9 + 16) : la racine carrée d'une somme n'est pas la somme des racines carrées.
Exercice 2 — Encadrer
Encadrer chacun des nombres suivants par deux entiers consécutifs, puis donner une valeur approchée au centième près à la calculatrice : √20, √85, √150.
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Démarche. On encadre le nombre sous le radical par deux carrés parfaits consécutifs.
- √20 : 16 < 20 < 25, donc 4 < √20 < 5. Valeur approchée : √20 ≈ 4,47.
- √85 : 81 < 85 < 100, donc 9 < √85 < 10. Valeur approchée : √85 ≈ 9,22.
- √150 : 144 < 150 < 169, donc 12 < √150 < 13. Valeur approchée : √150 ≈ 12,25.
Chaque valeur approchée est bien comprise dans l'encadrement trouvé.
Exercice 3 — Équations
Résoudre chaque équation.
- x2 = 64
- x2 = 17 (donner les valeurs exactes, puis approchées au centième)
- x2 = −9
- 2x2 = 50
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- 64 > 0, donc l'équation a deux solutions : 8 et −8.
- 17 > 0 : les solutions sont √17 et −√17, soit environ 4,12 et −4,12.
- Un carré n'est jamais négatif : l'équation x2 = −9 n'a aucune solution.
- On divise les deux membres par 2 : x2 = 25. Les solutions sont 5 et −5. Contrôle : 2 × 52 = 2 × 25 = 50, et 2 × (−5)2 = 50.
Exercice 4 — Un carré d'aire donnée
Un carré a pour aire 72 cm2.
- Donner la valeur exacte de la longueur de son côté.
- Encadrer cette longueur par deux entiers consécutifs.
- Donner son périmètre, arrondi au centième de centimètre.
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- Si c est la longueur du côté, en centimètres, alors c2 = 72 avec c positif. Donc c = √72 cm.
- 64 < 72 < 81, donc 8 < √72 < 9 : le côté mesure entre 8 cm et 9 cm.
- Le périmètre est 4 × √72 cm. On calcule à partir de la valeur exacte : 4 × √72 ≈ 4 × 8,485 28 ≈ 33,94 cm, au centième près.
Conclusion : le côté du carré mesure √72 cm, soit un peu moins de 8,49 cm, et son périmètre est d'environ 33,94 cm.
Exercice 5 — Théorème de Pythagore
- Le triangle ABC est rectangle en A, avec AB = 5 cm et AC = 12 cm. Calculer BC.
- Le triangle DEF est rectangle en D, avec DE = 3 cm et DF = 7 cm. Calculer la valeur exacte de EF, puis une valeur approchée au centième.
- Une échelle de 5 m de long est posée contre un mur vertical. Son pied est à 1,5 m du mur, sur un sol horizontal. À quelle hauteur l'échelle touche-t-elle le mur ? Donner une valeur approchée au centième de mètre.
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- Le triangle ABC est rectangle en A, donc d'après le théorème de Pythagore, BC2 = AB2 + AC2 = 25 + 144 = 169. BC est positive : BC = √169 = 13 cm.
- Le triangle DEF est rectangle en D, donc EF2 = DE2 + DF2 = 9 + 49 = 58. EF = √58 cm ≈ 7,62 cm (au centième près).
- L'échelle, le mur et le sol forment un triangle rectangle dont l'hypoténuse est l'échelle (5 m). On note h la hauteur cherchée. D'après le théorème de Pythagore, 52 = 1,52 + h2, donc h2 = 25 − 2,25 = 22,75. La hauteur est positive : h = √22,75 ≈ 4,77 m (au centième près).
Conclusion pour la question 3 : l'échelle touche le mur à environ 4,77 m du sol.