Ces exercices appliquent la fiche « Trigonométrie dans le triangle rectangle » : ils n'introduisent aucune règle nouvelle. Cherchez d'abord seul, puis comparez avec le corrigé. Chaque corrigé nomme les côtés par rapport à l'angle, choisit le rapport, pose le calcul avec la calculatrice en degrés, puis conclut avec l'unité et la précision demandée.
Exercice 1 — Les trois rapports d'un angle
Le triangle ABC est rectangle en A. On donne AB = 6 cm, AC = 8 cm et BC = 10 cm.
- Pour l'angle B, nommez le côté adjacent, le côté opposé et l'hypoténuse.
- Donnez les valeurs exactes de cos B, sin B et tan B, sous forme de fractions.
- Donnez ensuite cos C et sin C.
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1. Les côtés. L'angle droit est en A, donc l'hypoténuse est [BC]. Pour l'angle B, le côté adjacent est [AB] (il touche l'angle B) et le côté opposé est [AC] (il fait face à B).
2. Les rapports. cos B = AB/BC = 6/10 = 3/5. sin B = AC/BC = 8/10 = 4/5. tan B = AC/AB = 8/6 = 4/3.
3. L'angle C. Pour l'angle C, les rôles s'échangent : le côté adjacent est [AC] et le côté opposé est [AB]. Donc cos C = AC/BC = 8/10 = 4/5 et sin C = AB/BC = 6/10 = 3/5.
Conclusion. cos B = 3/5, sin B = 4/5, tan B = 4/3 ; cos C = 4/5 et sin C = 3/5. On remarque que cos B = sin C : les angles B et C sont complémentaires, car la somme des angles aigus d'un triangle rectangle vaut 90°.
Exercice 2 — Calculer des longueurs
Le triangle ABC est rectangle en B. L'angle en A mesure 40° et l'hypoténuse AC mesure 10 cm. Calculez BC et AB, arrondies au dixième de centimètre.
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Choix des rapports. Par rapport à l'angle A, [BC] est le côté opposé, [AB] est le côté adjacent et [AC] est l'hypoténuse.
Longueur BC. Les côtés en jeu sont l'opposé et l'hypoténuse : c'est le sinus. sin 40° = BC/AC = BC/10, donc BC = 10 × sin 40° ≈ 6,4 cm.
Longueur AB. Les côtés en jeu sont l'adjacent et l'hypoténuse : c'est le cosinus. cos 40° = AB/AC = AB/10, donc AB = 10 × cos 40° ≈ 7,7 cm.
Contrôle. Par le théorème de Pythagore, AB² + BC² doit valoir AC² = 100. On a 7,66² + 6,43² ≈ 58,7 + 41,3 = 100.
Conclusion. BC ≈ 6,4 cm et AB ≈ 7,7 cm, au dixième près.
Exercice 3 — Calculer un angle
Le triangle PQR est rectangle en Q. On donne PQ = 12 cm et QR = 5 cm. Calculez la mesure de l'angle P, au degré près, puis celle de l'angle R.
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Choix du rapport. Par rapport à l'angle P, [QR] est le côté opposé et [PQ] le côté adjacent. Les deux longueurs données sont l'opposé et l'adjacent : c'est la tangente.
Calcul. tan P = QR/PQ = 5/12. La calculatrice (touche tan⁻¹, en degrés) donne P ≈ 22,6°, soit 23° au degré près.
L'angle R. La somme des angles aigus d'un triangle rectangle vaut 90°. Donc R = 90° − 22,6° ≈ 67,4°, soit 67° au degré près. On peut aussi calculer tan R = 12/5 = 2,4, ce qui redonne 67,4°.
Conclusion. L'angle P mesure environ 23° et l'angle R environ 67°.
Exercice 4 — Problème : l'échelle contre un mur
Une échelle de 4 m de long est posée contre un mur vertical sur un sol horizontal. Elle fait un angle de 70° avec le sol.
- À quelle hauteur du sol l'échelle touche-t-elle le mur ? Donnez le résultat au centimètre près.
- À quelle distance du mur se trouve le pied de l'échelle ? Donnez le résultat au centimètre près.
- On veut que l'échelle touche le mur à 3,2 m de hauteur. Quel angle doit-elle faire avec le sol, au degré près ?
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Modèle. Le mur et le sol sont perpendiculaires : on obtient un triangle rectangle dont l'hypoténuse est l'échelle (4 m). L'angle de 70° est l'angle entre l'échelle et le sol.
1. Hauteur. Par rapport à cet angle, la hauteur sur le mur est le côté opposé. On connaît l'hypoténuse : c'est le sinus. sin 70° = h/4, donc h = 4 × sin 70° ≈ 3,76 m, au centimètre près.
2. Distance au mur. La distance entre le pied de l'échelle et le mur est le côté adjacent à l'angle de 70°. cos 70° = d/4, donc d = 4 × cos 70° ≈ 1,37 m.
Contrôle. Par Pythagore, 3,76² + 1,37² ≈ 14,14 + 1,88 = 16,02 ≈ 4² = 16 (à l'arrondi près).
3. Angle voulu. Le côté opposé vaut 3,2 m et l'hypoténuse 4 m : sin x = 3,2/4 = 0,8. La calculatrice (touche sin⁻¹) donne x ≈ 53,13°, soit 53° au degré près.
Conclusion. L'échelle touche le mur à environ 3,76 m, son pied est à environ 1,37 m du mur, et pour atteindre 3,2 m de hauteur elle doit faire un angle d'environ 53° avec le sol.
Exercice 5 — Triangle isocèle et hauteur (format de l'épreuve)
Le triangle ABC est isocèle en A, avec AB = AC = 10 cm et BC = 12 cm. On note H le pied de la hauteur issue de A : H est le point de [BC] tel que (AH) est perpendiculaire à (BC).
- Justifiez que H est le milieu de [BC] et que BH = 6 cm.
- Calculez la mesure de l'angle ABC, au degré près.
- Calculez la longueur AH.
- Déduisez la mesure de l'angle BAC, au degré près.
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1. Le point H. Dans un triangle isocèle, la hauteur issue du sommet principal est aussi la médiane et la médiatrice de la base. Le point H est donc le milieu de [BC], et BH = 12 ÷ 2 = 6 cm.
2. L'angle ABC. Le triangle ABH est rectangle en H. Par rapport à l'angle B, [BH] est le côté adjacent et [AB] l'hypoténuse : c'est le cosinus. cos B = BH/AB = 6/10 = 0,6. La calculatrice (touche cos⁻¹) donne B ≈ 53,13°, soit 53° au degré près.
3. La longueur AH. Dans le triangle ABH rectangle en H, le théorème de Pythagore donne AB² = AH² + BH², donc AH² = 10² − 6² = 100 − 36 = 64. Comme AH est positive, AH = 8 cm. (On retrouve aussi AH = AB × sin B = 10 × 0,8 = 8.)
4. L'angle BAC. Le triangle ABC est isocèle en A, donc les angles à la base sont égaux : ABC = ACB ≈ 53,13°. La somme des angles du triangle vaut 180°, donc BAC = 180° − 2 × 53,13° ≈ 73,74°, soit 74° au degré près. On peut contrôler : le triangle ABH donne sin(BAH) = 6/10 = 0,6, donc BAH ≈ 36,87° et BAC = 2 × 36,87° ≈ 73,74°.
Conclusion. L'angle ABC mesure environ 53°, AH = 8 cm et l'angle BAC mesure environ 74°. Barème indicatif : question 1 (1 point), 2 (1,5 point), 3 (1 point), 4 (1,5 point).