4.2 Bilan d'incertitude chiffré : un diamètre contrôlé au micromètre

Un arbre en acier de diamètre nominal 25 mm sort d'une opération de tournage. Le contrôleur mesure son diamètre avec un micromètre d'extérieur numérique de capacité 25 à 50 mm, de résolution 0,001 mm. Le mesurande est défini comme le diamètre entre deux points opposés, dans une section repérée, ramené à 20 °C.

Le modèle posé au chapitre précédent s'applique tel quel :

d₂₀ = d_ind + C_étal − d · α · (t − 20)

La correction d'étalonnage vaut l'opposé de l'erreur : C_étal = −0,001 mm. La correction de dilatation vaut 25 × 11,5 × 10⁻⁶ × 6 = 0,001 725 mm, à retrancher : la pièce chaude est plus grosse qu'à 20 °C.

Le contrôleur fait dix relevés dans la même section, en conditions de répétabilité : même opérateur, même instrument, même mode opératoire, sur une courte période (VIM 2.20). Pour alléger les calculs, on travaille sur l'écart à 25,000 mm, en micromètres.

Le GUM demande de documenter le nombre de degrés de liberté d'une évaluation de type A, égal à n − 1 dans ce cas simple (§ 4.2.6) : ici 9. Avec seulement dix relevés, l'écart-type est lui-même une estimation assez grossière ; c'est une raison supplémentaire de ne pas afficher trop de décimales dans le résultat final.

C'est l'erreur la plus fréquente dans les bilans d'atelier. L'écart-type s caractérise la dispersion des relevés individuels autour de leur moyenne (GUM § 4.2.2). L'écart-type de la moyenne s/√n indique avec quelle qualité la moyenne de n relevés estime la valeur attendue (GUM § 4.2.3). Ce sont deux grandeurs différentes, qui répondent à deux questions différentes.

Le piège classique consiste à réaliser une étude de dix relevés, à calculer s/√10, puis à appliquer l'incertitude obtenue à des contrôles de production faits en une seule mesure. L'incertitude annoncée est alors sous-estimée d'un facteur qui peut dépasser 3 sur la composante de répétabilité. Le diviseur √n ne s'applique qu'au nombre de relevés réellement moyennés dans le résultat déclaré.

Une série de dix relevés reste utile pour la production : elle sert à estimer s, la dispersion d'un relevé. Le GUM prévoit même que, pour une mesure bien caractérisée et sous contrôle statistique, un écart-type « poolé » s_p, issu de plusieurs études, décrive mieux la dispersion ; l'incertitude-type d'une moyenne de n relevés est alors s_p/√n (§ 4.2.4), et celle d'un relevé unique s_p.

Les autres sources ne se tirent pas des relevés mais d'informations extérieures. Chacune est convertie en incertitude-type, puis multipliée par son coefficient de sensibilité pour être exprimée en micromètres sur le diamètre.

Pour la résolution, le GUM traite exactement ce cas : si la résolution d'un afficheur est δx, la valeur qui produit une indication donnée peut se trouver avec la même probabilité n'importe où dans un intervalle de largeur δx, d'où une incertitude-type de 0,29 δx (§ F.2.2.1). Avec δx = 1 µm, on retrouve 0,29 µm.

La loi rectangulaire s'utilise quand on ne connaît que des bornes, sans raison de privilégier une valeur à l'intérieur (GUM § 4.3.7). Si l'on sait que les valeurs proches du centre sont plus probables, une loi triangulaire, de diviseur √6, est plus réaliste et donne une incertitude plus faible. Le choix de la loi est une hypothèse du bilan : il s'écrit.

Toutes les composantes sont maintenant en micromètres sur le diamètre. Elles sont supposées indépendantes : l'incertitude-type composée est la racine de la somme de leurs carrés. La colonne « contribution » donne la part de chaque carré dans la somme.

Contributions arrondies au dixième : leur somme vaut 100 % aux arrondis près. Les u² sont calculés avant arrondi des u.

Le même instrument, le même opérateur et la même pièce donnent donc deux incertitudes différentes selon ce que l'on déclare : 0,0023 mm pour la moyenne de dix relevés, 0,0037 mm pour un relevé unique. C'est pourquoi un bilan s'attache toujours à une méthode de mesure écrite, et pas seulement à un instrument.

Reste à appliquer les corrections à la moyenne. En micromètres au-dessus de 25 mm : 18,3 − 1,0 − 1,725 = 15,575 µm. Le diamètre corrigé ramené à 20 °C vaut donc d₂₀ = 25,015 575 mm avant arrondi.

Le GUM fixe la règle d'écriture (§ 7.2.6) : ni la valeur ni son incertitude ne doivent comporter un nombre excessif de chiffres. Il suffit en général de donner U avec au plus deux chiffres significatifs, et la valeur s'arrondit de façon cohérente avec son incertitude, c'est-à-dire au même rang décimal. Le GUM ajoute qu'il peut être approprié d'arrondir une incertitude par excès plutôt qu'au plus proche, le bon sens devant l'emporter.

Une écriture complète précise aussi ce que représente l'incertitude : « incertitude élargie U, obtenue avec un facteur d'élargissement k = 2, correspondant à un niveau de confiance d'environ 95 % ». Sans k, le lecteur ne sait pas s'il lit une incertitude-type ou une incertitude élargie : l'écart est du simple au double.

La composition quadratique a une conséquence pratique : seule la plus grosse composante compte vraiment. Réduire une source qui pèse 2 % ne change presque rien, réduire celle qui pèse 70 % change tout. Le tableau de bilan sert donc aussi de plan d'action.

Pour la moyenne de dix relevés, l'étalonnage pèse 74 % : c'est lui qu'il faut améliorer, par exemple en demandant un étalonnage de plus faible incertitude ou en mesurant par comparaison avec une cale étalon de 25 mm étalonnée, dont l'écart connu corrige le micromètre au plus près de la valeur mesurée. Multiplier les relevés n'apporterait presque rien.

Pour le relevé unique, la répétabilité pèse 66 % : améliorer le certificat ne fait gagner qu'un demi-micromètre sur U, alors que moyenner trois relevés en fait gagner un. Les leviers sont la méthode (support de micromètre, usage systématique du cliquet, section repérée), la formation des opérateurs, et le nombre de relevés moyennés. L'étude R&R du chapitre 5.1 permet de séparer la part de l'instrument et celle des opérateurs.